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\entete{\large \bfseries}{\normalsize\textsf{\rightmark}}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - }%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{\linewidth}
\smallskip
{\bfseries \Large \sffamily \begin{center} Devoir Surveillé de mathématiques\hfill Jeudi 4 mars 2009 \\
                                  BTS domotique 1\hfill 1 heure \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\end{center}


\vspace{2cm}

\noindent \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}\\
On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) \quad  4y'' + 12y' + 9y = 36,\]
 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre  sur   $\R$  l'équation  différentielle  $4y''+12y'+9y  =
  0$.

\item Vérifier que la fonction  $h$, définie pour tout réel $x$
  par $h(x) =  4$, est une solution particulière de  (E). En déduire les
  solutions de (E).

\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f(0) = 5$ et $f'(0) = 0,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B - Étude d'une fonction}\\
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) =  (2x + 1)\text{e}^{-1,5x} + 4.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item 	Ecrire $f(x)$ sous forme développée. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.

\item 	Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie C - Représentation graphique et calcul d'aire}\\
On considère un repère orthononnal du plan \Oij.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y =  4$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.

\item 	Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.

\item 	Pour $x$ appartenant à $[-1/2 ~;~ 3]$, tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ (unité graphique :3~cm).

\item 	On considère l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité sur le graphique par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites $\Delta$ et $\Delta'$  d'équations respectives  $x = -0,5$ et $x = 3$.

	\begin{enumerate}
		
\item À  l'aide d'une  intégration par parties,  calculer $\displaystyle
  \int_{-0,5}^32x\E^{-1,5x}\d x$.

\item   Exprimer $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale.

		\item   En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$, puis en donner une valeur approchée décimale arrondie \`a $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}


\begin{flushright}
\textit{BTS groupement C1 session 2002}
\end{flushright}

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