\chapterimage{buzz}

\chaptertext{Où  nous découvrons  Mathémator et  son disciple  qui vont
  nous emmener vers l'infini et au-delà}



\chapter{Limites et continuité}


















         
\section{Vers l'infini et au-delà : un brin de philosophie}



\subsection{Prenons le temps d'y penser}


\ill{La  notion
d'infini a  turlupiné les  plus grands esprits  pendant des  siècles. De
rudes batailles philosophico-mathématiques ont été menées de l'Antiquité
à nos jours.

Même si la conception de limite  est encore en évolution, celle que vous
avez découverte  en classe  de Première a  vu le  jour en 1850  grâce au
charmant  \textsc{Weierstra\ss}  et  avait  échappé  à  \textsc{Galilée,
Descartes, Pascal,  Leibniz, Newton}, etc. bref~:~du  beau monde...et on
vous demande d'assimiler cette notion en quelques semaines~!}{Weierstrass}


L'humanité ayant pris son temps  pour l'acquérir, n'hésitez pas vous non
plus à réfléchir calmement à ce à quoi peut ressembler un \og~infiniment
grand~\fg et un \og~infiniment petit~\fg.


Cela  vous permettra  peut-être d'éviter  d'écrire, comme  tant d'autres
lycéens, de  grosses bêtises  sur vos copies  au moment de  calculer des
limites.



\subsection{De l'Antiquité au Moyen-Âge}

\ill{Nous  sommes  coincés
entre  deux  notions~:~celle d'infiniment  grand  et celle  d'infiniment
petit.  C'est la deuxième qui a commencé par poser le plus de problèmes.
Au V\up{e} siécle avant JC, Zénon proposa quatre paradoxes,  dont le plus célèbre
est celui d'Achille  et de la Tortue. Achille  coure beaucoup plus vite
que la  tortue mais  part 10 mètres  derrière elle. Le  temps qu'Achille
franchisse ces 10 mètres, la tortue aura parcourue une certaine distance
d,  le temps  qu'Achille franchisse  cette  distance d,  la tortue  aura
parcouru une certaine  distance d', etc., donc Achille  mettra un temps
infini à franchir  ces distances de plus en plus  petites mais en nombre
infini~!}{Zenon}


Archimède et  avant lui Démocrite  réussirent à calculer les  volumes de
solides  en \og~empilant~\fg  des  \og~lamelles~\fg planes  d'épaisseurs
infiniment petites. C'est ainsi qu'Archimède  montra que le volume de la
sphère valait $\frac{4}{3}\pi R^3$.


Concernant les rapports entre les infinis, les questions se posèrent dès
le  Moyen-Âge où  la figure  suivante  permit d'affirmer  qu'il y  avait
autant  de points  sur le  petit  cercle que  sur le  grand\footnote{Les
démonstrations géométriques ont  longtemps été les seules démonstrations
admises en mathématiques depuis les Grecs. }.


\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{moyenage.1}
\end{center}

Ainsi, deux infiniment grands différents  semblent en fait avoir le même
nombre -infini- d'éléments...

\subsection{Du XVI\up{e} au XVII\up{e} siècle}



Entre  deux découvertes,  \textsc{Galilée} remarqua  qu'à  chaque entier
naturel,  on pouvait associer  son carré  et réciproquement  qu'à chaque
carré on pouvait faire correspondre sa racine carrée.


\ill{\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{moyenage.2}
\end{center}



}{Galilee}


\smallskip


Il y avait donc autant d'entiers naturels que de carrés parfaits, ce qui
en laissa plus d'un  rêveur... Le grand \textsc{Leibniz} lui-même refusa
de \emph{croire} que  des infinis qui paraissaient de  toute évidence de
tailles différentes soient en fait de même taille.

\medskip

\ill{Mais  la plus grande
des   batailles  se   joua   au  sujet   des   infiniment  petits,   que
\textsc{Cavalieri}(1598   -   1647)   nomma   pour  la   première   fois
\emph{indivisibles}.

\textsc{Pascal} en fit de larges  commentaires. Il remarqua en effet que
tout  esprit admet facilement  qu'une quantité  puisse être  augmentée à
l'infini en la doublant et en réitérant le mécanisme par exemple.}{Pascal}

En   revanche  il  est   \emph{psychologiquement}  beaucoup   plus  ardu
d'imaginer un \og~infini de petitesse~\fg.

Prenons un  segment de  droite et  divisons-le en 2,  puis encore  en 2,
etc.  Si on  admet une  fin de  la division  nous dit  Pascal,  on admet
l'existance d'indivisibles. Si ces indivisibles ont une étendue, il sont
encore divisibles, ce  qui est absurde. Mais s'ils  n'ont pas d'étendue,
on ne peut  pas les \og~recoller~\fg pour reformer  la division dont ils
sont issus...

Donc, Pascal  arrive \emph{indirectement} à la conclusion  qu'on ne peut
pas arrêter la division et qu'elle peut se répéter infiniment.

La  difficulté   d'appréhension  vient   du  fait  qu'on   n'accède  pas
directement  à  la  preuve  de  l'existence  d'infiniment  petits,  mais
indirectement  en  prouvant   qu'il  est  impossible  qu'ils  n'existent
pas~!...

Reste à déterminer  la nature de cet infiniment petit.  D'une part on le
considère comme négligeable devant des grandeurs \emph{mesurables}, tout
comme le point est négligeable devant la droite.

Mais  il  ne  faut  pas  trop  le négliger  sous  peine  de  ne  pouvoir
reconstituer  en  l'additionnant  une  quantité  mesurable  comme  l'ont
théorisé Leibniz  et Newton  avec le calcul  différentiel comme  nous le
verrons en étudiant les dérivées et les intégrales.

Ils ont  en effet eu  besoin d'addditionner des infiniment  petits, mais
ont remarqué des résultats troublants.

Par exemple, \textsc{Euler}(1707 - 1783) a montré que
\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\]

mais que

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots\longrightarrow
+\infty\]

même si dans chacun des cas on ajoute des infiniment petits.

De plus, on peut se demander que vaut

\[1-1+1-1+1-1+\cdots\]

D'une    part,    $(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0$,    et    d'autre    part
$1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$, et donc...$0=1$~!

Bref,  y  a quelque  chose  qui  cloche là-dedans,  ce  qui  fit dire  à
l'Irlandais  \textsc{Berkeley}  \emph{ne  vaut-il  pas mieux  donner  de
bonnes  approximations que  prétendre atteindre  à l'exactitude  par des
sophismes~?} et  donc étudier des  polygones plutôt que des  courbes par
exemple.

Sauf  qu'il faudrait alors  réfuter le  calcul différentiel  et renoncer
quasiment à tout ce qui s'est découvert en sciences depuis le XVII\up{e}
siècle~!


\subsection{Le XIX\up{e} siècle...enfin~!}

\textsc{Gauss}(1777 -  1855), l'un des plus grands  génies de l'Histoire
n'a pas encore  une vision correcte de l'infini, mais  résume en fait la
vision  générale  des  limites   que  vous  devez  acquérir  au  Lycée~:
\emph{L'infini ne  doit être  qu'une façon de  parler pour  exprimer que
certaines quantités  peuvent s'approcher aussi près que  l'on veut d'une
limite ou augmenter au delà de toute limite.}




\ill{Le grand bond de la  pensée vient d'être effectué~:~cet infiniment petit
qu'on  recherchait avec  tant d'ardeur  depuis des  siècles,  cet ultime
stade hypothétique, on le cherchait au mauvais endroit~:~on le cherchait
constant alors qu'il faut le considérer comme \emph{variable}~:~c'est ce
que traduit le \emph{aussi petit que  l'on veut} dont parle Gauss et que
va  reprendre  \textsc{Cauchy}  dans  ses  \emph{Leçons  sur  le  calcul
infinitésimal} qui marque le réel envol de l'Analyse moderne.}{Cauchy}

 Notre
austère  royaliste posa  en  effet \emph{Si  les valeurs  successivement
attribuées à  une variable s'approchent indéfiniment  d'une valeur fixe,
de manière  à finir  par en  différer aussi peu  que l'on  voudra, alors
cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.}


C'est  la définition  utilisée  en Terminale.  Il  existe cependant  une
faille  dans cette  définition  mais  qui est  sans  importance à  notre
niveau.

Il  faudra attendre 1861  et Weierstra\ss\  pour obtenir  une définition
rigoureuse  et  surtout  \textsc{Cantor}\label{cantor}  pour  explorer  les  réels  et
l'infini (voir aussi \vref{discretcontinu}). 

\ill{Cantor mit au point la  \emph{Théorie des Ensembles} et prouva ainsi des
résultats qui défient la perception que l'on a du monde réel.

Il donna  un nom au \emph{cardinal} (c'est-à-dire  au nombre d'éléments)
de $\bbn$~:~$\aleph_0$ (qui  se lit aleph zéro). Il  montra qu'il s'agit
du  plus  petit  cardinal  d'un  ensemble infini.   Comme  l'avait  déjà
pressenti  Galilée, il  montra  qu'il  y a  autant  d'entiers pairs  que
d'entiers tout court, et donc que $2\times \aleph_0=\aleph_0$. 
}{Cantor}


Il montra
ensuite qu'il y avait autant  de nombres rationnels que d'entiers. Or un
entier peut être représenté  par un couple (numérateur,dénominateur). Il
y    a   donc    $\aleph_0\times\aleph_0$   tels    nombres    et   donc
$\aleph_0^2=\aleph_0$...       On      parle      alors      d'ensembles
\emph{dénombrables},  c'est-à-dire d'ensembles  dont  tous les  éléments
peuvent  être   reliés  d'une   et  une  seule   manière  à   un  entier
naturel\footnote{en  gros,  on  peut  accoler  un  dossard  différent  à
tous...}


Est-ce pareil pour  $\bbr$~? Cantor montra en fait  que $\bbr$ n'est pas
dénombrable~:~on ne  peut pas  mettre un dossard  sur chacun  des nombre
réels. Plus  fort encore~:~il  montra qu'il y  a autant de  nombres dans
$[0\pv 1]$ que dans $\bbr$ tout  entier. Et le summum~:~il y a autant de
nombres dans $[0\pv 1]$ que dans l'Espace de dimension 3 tout entier~!

Ce  résultat rendit  à  moitié fou  le  pauvre russo-germano-danois  qui
affirma en parlant  de ces résultats~:~\og~je le vois  mais je n'y crois
pas~\fg...


Lorsqu'on vous a présenté les réels en 2\textsuperscript{nde}, on vous a
parlé  des entiers  naturels, des  entiers relatifs,  des  décimaux, des
rationnels,  des irrationnels.  On a  cependant besoin  de  parler d'une
autre catégorie de nombres~:~\emph{les nombres algébriques} qui sont les
réels solutions d'une équation polynomiale à coefficients rationnels...

Par  exemple,   $\sqrt{2}$  est  algébrique  car  il   est  solution  de
$x^2-2=0$.  De  même,  $\frac{3}{2}$  est  algébrique  car  solution  de
$2x-3=0$.

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont dits \emph{transcendants}.

Cantor  montra   que  l'ensemble  des  nombres   algébriques  est  aussi
dénombrable,  et  donc  que   les  nombres  transcendants  ne  sont  pas
dénombrables,  c'est-à-dire qu'il  y  en a  beaucoup  plus...or vous  ne
connaissez qu'un seul de ces  nombres~:~$\pi$~! Et on en connaît en fait
très peu~:~il a  fallu de grosses recherches à la  fin du XIX\up{e} pour
prouver que  $\pi$ était transcendant.  C'est assez troublant  de penser
qu'on ne connaît pas la plupart des nombres réels~!...



\subsection{Oui...et alors~?}

Votre cerveau fume~?...Bien~! Que  retenir de ce passionnant exposé~? Et
bien au moins que \emph{calcul sur les limites = danger}. Les infiniment
grands et les  infiniment petits doivent se traiter  avec la plus grande
prudence  et   qu'il  a  fallu   des  siècles  à  l'humanité   pour  les
apprivoiser. Quant à vous, je vous laisse deux semaines...

Il est maintenant temps de s'amuser un peu.




\section{Qu'est-ce qu'une fonction~?}



\pro Question idiote n'est-ce pas~?

\textbf{Téhessin}\footnote{Si  notre  héros est  un  garçon, c'est  pour
faciliter les accords des adjectifs et participe passé.} : Ben c'est une
formule comme par exemple $f(x)=(x+1)^2$

\sm

\pro C'est tout~? Je vois...L'année de formation qui nous attend ne sera
pas superflue.  Si vous avez  éprouvé des difficultés l'an  passé, c'est
peut-être  que  vous  n'avez  pas  fait l'effort  d'avoir  en  tête  une
définition  claire,  précise,   rigoureuse.  Peut-être  n'avez-vous  pas
compris  comment  cette  définition   pouvait  être  liée  aux  diverses
propriétés, à quoi tout le  tralala pouvait servir, comment cette partie
du programme pouvait être reliée  à d'autres notions déjà étudiées. Vous
ne semblez  pas avoir une vision  intuitive de la  notion susceptible de
vous aider à comprendre comment tout s'imbrique si merveilleusement dans
notre    magnifique    univers    mathématique   à    l'esthétique    si
parfaite. Pourquoi  cette notion est-elle apparue~? Quelle  est sa place
dans  l'histoire  de l'esprit  humain~?  Quelles  sont ses  applications
concrètes~?  C'est  avec  ces  questions  en tête  que  nous  essaierons
d'aborder toutes les notions qu'un(e)  jeune Mataïe se doit de maîtriser
à l'issue de sa formation terminale.


\MATA{{À  ce rythme  là, dans  deux ans  on y  est encore,  et  moi j'ai
d'autres projets.}}

\sm

\pro Vous dîtes~?

\tsx J'ai hâte d'étancher ma soif de connaissance, ô céleste maître.

\pro À  la bonne heure~! Disons  qu'une fonction associe  à TOUT élément
d'un ensemble de départ un  UNIQUE élément d'un ensemble d'arrivée. Cela
correspond typiquement au diagramme en patates suivant


\begin{center}
\includegraphics[height=3cm]{limfonc.13}
\end{center}

Nous nous  restreindrons aux fonctions  dont les ensembles de  départ et
d'arrivée sont des parties de $\bbr$.

\tsx Parce qu'il en existe d'autres ?

\pro Nous verrons  cette année quelques exemples de  fonctions à valeurs
complexes,  de   fonctions  vectorielles,  de   fonctions  de  plusieurs
variables, sans toutefois  rentrer dans le détail, mais  sachez au moins
qu'elles existent.  D'ailleurs, vous en avez étudiées en primaire. Votre
instituteur vous a sûrement parlé de celle-ci~:

\[\colon\begin{array}{rll} \bbr_+^2 &\to&\bbr_+  \\ (L,\ell) & \mapsto &
2(L+\ell) \end{array}\]

\MATA{Il est  complètement fou...Il  y a 5  TS au  lycée et faut  que je
tombe  sur la  pire}\textbf{tout  haut :  }  j'ai peut-être  un trou  de
mémoire mais  je doute  que ma  maîtresse de CM1  m'ait jamais  parlé de
cette...chose.


\pro  bahh, elle vous  a sûrement  dit que  le périmètre  d'un rectangle
était égal au double de la somme de sa longueur et de sa largeur...c'est
pareil.

\tsx Donc ce  que j'ai appelé \textit{fonction} depuis  le collège n'est
qu'un cas particulier de fonction.

\pro   Oui  mais,   jusqu'à   nouvel  ordre,   par   abus  de   langage,
\textit{fonction}   sous-entendra  pour   nous   \textit{fonction  d'une
variable réelle à valeurs dans} $\bbr$.

\medskip

 Il reste un problème à  résoudre pour notre confort intellectuel : nous
travaillons avec des nombres réels, mais qu'est-ce que l'ensemble $\bbr$
des nombres réels ?
  
\tsx Ben c'est tous les nombres qui existent.

\pro C'est faux et beaucoup trop vague ! Faux car vous avez rencontré en
ce début  d'année de  nouveaux nombres  qui ne sont  pas des  réels (les
complexes) et vague  car cela ne nous permet  pas d'avoir des propriétés
sur $\bbr$ exploitables.

Malheureusement, la construction de  l'ensemble $\bbr$ est hors de notre
portée pour le moment.







\section{Pourquoi  est-il important  de  préciser sur  quel ensemble  on
travaille~?}



\pro  Posez votre  stylo sur  votre table  et observez-le  : il  a l'air
solide  et immobile.   Maintenant, imaginez  que vous  observez  ce même
stylo, mais avec une loupe assez puissante pour voir ce qui s'y passe au
niveau atomique  : votre stylo vous  apparait alors plein  de vide, avec
des électrons  qui tournent dans tous  les sens. C'est  pourtant le même
stylo. Mais  une propriété  locale - un  atome est pratiquement  vide de
matière -  n'est pas <<~exportable~>> au  niveau global -  le stylo nous
apparaît solide, sans la moindre trace de vide.

Pour  l'étude  d'une  fonction,  il  faudra  prendre  le  même  type  de
précautions, à savoir distinguer un problème local d'un problème global.

\tsx Je  comprends votre exemple physique,  mais je ne vois  pas bien ce
que ça peut donner en mathématique.
 
\pro Il  faut commencer  par acquérir une  bonne vision de  cet ensemble
$\bbr$, à la fois connu et mystérieux. Pour cela fermez les yeux.

\MATA{ C'est le gourou d'une secte ou  un prof de maths ?! Je vais quand
même garder un \oe il ouvert au cas où.}

\pro Vous voyez la droite des réels ?

\MATA{ Avec des  éléphants roses courant dessus} \textbf{tout  haut : }
je ne vois qu'elle.

\pro Bien, alors  repérez le nombre 32 et zoomez  dessus, disons en vous
plaçant dans l'intervalle [31,33].  Puis rezoomez, cette fois-ci en vous
plaçant  dans l'intervalle [31,9\  ; 32,1]  : vous  êtes plus  proche de
32. Mettez-vous maintenant dans la peau de $32-10^{-32}$.

\MATA{\c Ca devient grave, il a peut-être besoin d'une piqure...}

\pro Pour  lui, 31,9  est à  l'autre bout du  monde et  il se  sent très
proche de 32. Mettez-vous alors  à la place de $32-10^{-10^{10^{10}}}$ :
vous vous  sentez voisin de  32 et pour  vous $32-10^{-32}$ est  sur une
autre planète.

\tsx Je commence à  voir, les yeux fermés, où vous voulez  en venir : on
aura beau chercher, on ne trouvera  pas de nombre réel plus proche de 32
que tous les autres.

\pro  La notion  de <<~proximité~>>  devient alors  toute  relative.  Il
faudra garder ces schémas en tête quand nous travaillerons dans $\bbr$.

\medskip

Revenons à présent à notre  distingo local - global. Nous serons souvent
amenés à parler d'une assertion  vraie ou fausse <<~au voisinage~>> d'un
point. Par exemple, pensez-vous que $x^2\ie1$ au voisinage de 0 ?

\tsx En fait,  c'est faux pour $x=2$, par exemple,  mais ça devient vrai
si $x$ est compris entre $-1$  et 1, donc <<~localement~>>, autour de 0,
c'est vrai.

\pro On peut  dire en fait que pour tout  $x$ appartenant à l'intervalle
$]0-1,0+1[$, l'assertion  est vraie. Nous  verrons que ce  résultat nous
permettra de dire que l'assertion est vraie au voisinage de 0.

\medskip

Maintenant, pensez-vous que $\frac{1}{x^2}\se 16$ au voisinage de 0 ?

\tsx Je  vous arrête  tout de  suite : l'assertion  est fausse  car elle
n'est même pas vraie en 0 puisque $1/x^2$ n'est pas défini en 0.

\pro Cela  aurait pu  être un  argument mais cela  se serait  avéré très
réducteur car nous  serons amenés à étudier des  propriétés au voisinage
de  points où  la fonction  n'est pas  définie, notamment  au  moment de
l'étude des  limites. Ici, nous  pouvons dire que l'assertion  est vraie
pour tout  $x$ appartenant à  $]0-4,0+4[$ ET à l'ensemble  de définition
$\bbr^*$.

 On  peut  utiliser  le  symbole  $\cap$ de  l'intersection  pour  noter
l'ensemble $]0-4,0+4[\cap\bbr^*$,  ce qui  peut encore s'écrire  sous la
forme  $]-4,0[\  \cup\  ]0,4[$.   Ainsi,  n'oubliez  pas  de  considérer
l'intersection    de    l'intervalle    englobant    le    point    avec
\textbf{l'ensemble de définition}.

\medskip

Encore  un  petit  exemple  :  croyez-vous que  $x^3$  soit  positif  au
voisinage de 0 ?

\tsx En fait, $x$ et $x^3$ ont  le même signe donc il suffit de dire que
pour $x=-10^{-32}$ par exemple, l'assertion est fausse.
 
\pro Mouais, le problème c'est  qu'un contre-exemple ne suffit pas : qui
nous dit que  $x^3$ ne devient pas positif pour des  valeurs de $x$ plus
petite ? Il  faut donc donner une démonstration et  pas seulement un cas
particulier. Ce sera l'occasion de découvrir un \textit{raisonnement par
l'absurde} qui nous rendra service tout au long de l'année.

\medskip

Supposons  donc que l'assertion  soit vraie  \textit{(on suppose  ce qui
nous semble absurde...)}

Cela est  équivalent à dire  qu'il existe un  réel $\e>0$ tel  que $x^3$
soit positif pour tout $x\in]0-\e,0+\e[$

Ainsi,   par  exemple,   $(-\e)^3$  est   positif  or   $(-\e)^3<0$  car
$-\e<0$~:~on arrive donc à une \textit{contradiction}.

Il y  a donc quelque chose qui  cloche dans notre raisonnement  et ça ne
peut être  que le point  de départ car  nous sommes sûrs du  reste, donc
l'assertion est fausse.


\medskip

Retenez  donc  bien qu'il  faut  que  le  point critique  appartienne  à
l'intervalle.

Nous pouvons donc proposer l'assertion suivante :

\begin{definition}[voisinage d'un réel]  Soit $f$ une fonction définie
sur  un  ensemble $\DR$  et  $x_0$ un  réel.   Une  assertion est  vraie
\textbf{au  voisinage} de  $x_0$ s'il  existe un  intervalle  ouvert $I$
contenant $x_0$ tel  que l'assertion soit vraie pour  tout $x$ de $I\cap
\DR$
 \end{definition}



Nous serons  également amenés à  étudier des assertions au  voisinage de
l'infini.

\tsx \c Ca me parait un peu difficile à atteindre.

\pro Mais  ce n'est pas impossible  : nous allons un  peu modifier notre
définition. Par exemple, est-ce que la fonction inverse

$$f\ :\ \begin{array}{lll} \bbr^* &\to &\bbr\\ x& \mapsto &1/x \end{array}$$


 est majorée sur son ensemble de définition ?

\tsx Je sens que c'est faux au voisinage de 0.

\pro Je vous laisse le montrer.  Modifions alors le problème : vous êtes
d'accord que  $f(x)\ie 1$ dès  que $x\in[1,+\infty[$. On dira  alors que
$f$ est majorée par 1 au voisinage  de $+\infty$ : on ne peut pas mettre
l'infini dans notre  intervalle, certes, mais on peut  le placer à l'une
de ses extrémités.
 


\begin{definition}[voisinage  de  l'infini]   Soit  $f$  une  fonction
définie  sur  un ensemble  $\DR$.  Une  assertion  est vraie  \textbf{au
voisinage} de $+\infty$ s'il existe un réel $a$ tel que l'assertion soit
vraie pour tous les $x$ de $]a,+\infty[$
 \end{definition}


\tsx  Toutes  ces propriétés  me  semblent  pourtant  plus globales  que
locales : elles sont vraies sur de grands intervalles.

\pro Je comprends  ce que vous voulez dire : en  fait, une propriété est
locale  dès qu'elle  n'est  pas vraie  $partout$.   Il y  a ensuite  des
propriétés plus  locales que d'autres,  je vous l'accorde. Pour  vous en
rendre compte, nous allons (re)découvrir un concept vraiment très local,
celui  de limite.  Retenez  également, au  point de  vue méthodologique,
qu'un  raisonnement par  l'absurde nous  aide souvent  à  montrer qu'une
assertion est fausse localement.






















\section{Approche intuitive des différentes définitions} 



\subsection{La fonction f est définie en a}


Deux cas se présentent.

\subsubsection{Il n'y a pas de \og saut\fg{} en a}

\paragraph{Approche intuitive}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{newlimfonc.2}
\end{center}
%\end{figure}


Que l'on  vienne de la  droite ou  de la gauche  de $a$, lorsque  $x$ se
rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $f(a)$.

On        note         alors        que        $\displaystyle\lim_{{x\to
    a}\atop{x<a}}=\displaystyle\lim_{{x\to a}\atop{x>a}}=f(a)$.

La fonction $f$ est dite \textg{continue} en $a$.

\paragraph{Illustration physique}



Vous connaissez  peut-être la loi  des gaz parfaits qui  relie pression,
volume  et  température  d'une  certaine  masse de  gaz  dans  certaines
conditions~:
$$pV=Rt$$
avec $R$  une constante  qui dépend de  la nature  du gaz et  des unités
employées.

Si on considère  un gaz parfait dans un récipient  à volume constant, la
pression  va donc varier  en fonction  de la  température que  l'on peut
contrôler selon l'équation~:


$$p(t)=\fr{R}{V} t$$

Soit  $\e>0$. Si  l'on  veut que  la  pression reste  entre les  valeurs
$p_0-\e$ et  $p_0+\e$, il suffit  que l'on contrôle la  température pour
qu'elle se situe dans un certain intervalle qui dépendra de la précision
$\e$ choisie :

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.14}
\end{center}

\paragraph{Formalisation mathématique}



\begin{definition}[ Limite finie en un réel] Soit $I$ un intervalle de
$\bbr$, soit $f$ une fonction  définie sur l'intervalle $I$ vers $\bbr$,
soit $\ell$  un réel et  soit $a$ un  élément ou une extrémité  finie de
$I$. On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque,
pour  tout  $\e>0$,  il existe  $\al>0$  tel  que,  pour tout  réel  $x$
appartenant  à  $I\cap[a-\al,a+\al]$,  on a  $f(x)\in[\ell-\e,\ell+\e]$,
c'est à  dire si tout  voisinage de $\ell$  contient TOUTES les  valeurs de
$f(x)$ prises pour tous les $x$ proches de $a$
 \end{definition}



On rencontre parfois la notation équivalente $f(x)\tendvers{a}\ell$

Pour ce qui est de la continuité en un réel:


  \begin{definition}[Continuité en un réel]
  

Soit $a$ un réel, et soit $f$ une fonction
définie sur un intervalle contenant $a$.
 On dit que \textbf{\mg$f$ est continue en $a$}
lorsque $f(x)$ tend vers $f(a)$ quand $x$ tend vers $a$. 
\end{definition}




\subsubsection{Il y a  un \og saut\fg{} en a}

\paragraph{Approche intuitive}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{newlimfonc.3}
\end{center}
%\end{figure}


Un petit bonhomme  se promenant sur la courbe en venant  de la gauche et
un autre qui vient de la droite ne vont pas pouvoir se rencontrer.



On        note         alors        que        $\displaystyle\lim_{{x\to
    a}\atop{x<a}}=f(a)\neq\alpha=\displaystyle\lim_{{x\to a}\atop{x>a}}$.

La fonction $f$ n'est pas \textg{continue} en $a$.







\subsection{La fonction f n'est pas définie en a}


La encore, plusieurs cas se présentent.



\subsubsection{Il y a  un \og saut\fg{} en a}

\paragraph{Approche intuitive}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{newlimfonc.4}
\end{center}
%\end{figure}


Un petit bonhomme  se promenant sur la courbe en venant  de la gauche et
un autre qui vient de la droite ne vont toujours pas pouvoir se rencontrer.



On        note         alors        que        $\displaystyle\lim_{{x\to
    a}\atop{x<a}}=\alpha\neq\beta=\displaystyle\lim_{{x\to a}\atop{x>a}}$.

La fonction $f$ n'est bien sûr pas \textg{continue} en $a$.




\subsubsection{Il y a  un \og vide\fg{} en a}

\paragraph{Approche intuitive}




%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{newlimfonc.5}
\end{center}
%\end{figure}


Un petit bonhomme  se promenant sur la courbe en venant  de la gauche et
un  autre  qui vient  de  la  droite ne  vont  toujours  pas pouvoir  se
rencontrer car il y a  un no-mans-land: un Berlinois de l'Ouest aperçoit
un Berlinois de l'Est mais ils ne peuvent se serrer la main.



On        note         alors        que        $\displaystyle\lim_{{x\to
    a}\atop{x<a}}=\alpha=\displaystyle\lim_{{x\to a}\atop{x>a}}$.

La fonction $f$ n'est toujours pas  \textg{continue} en $a$ mais il y a
un espoir...

Il suffit d'abattre  le mur de séparation entre les  deux villes mais on
définit  alors  une  nouvelle   ville  qui  n'est  ni  Berlin-Ouest,  ni
Berlin-Est mais Berlin tout court.




\paragraph{Formalisation mathématique}


Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais si $\displaystyle\lim_{{x\to
    a}\atop{x<a}}=\alpha=\displaystyle\lim_{{x\to  a}\atop{x>a}}$, alors
on peut \textg{prolonger la fonction f par continuité}
en créant une nouvelle fonction $g$ définie par:

$$
\begin{cases}
  g(x)=f(x)\quad \forall x\neq a\\
  g(a)=\alpha
\end{cases}
$$


\subsubsection{Il y a un \og mur vertical\fg{} en a}


\paragraph{Illustration physique}


Utilisons cette fois-ci  la loi de Newton, donnant  la force qu'exercent
l'un sur l'autre deux points matériels de masses $m$ et $m'$ distants de
$d$

$$f=G\fr{mm'}{d^2}$$

avec $G$ la constante de l'attraction universelle.

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.15}
\end{center}


Pour que $f$ reste supérieure à une valeur arbitraire $A$, il suffit que
les   points   matériels   soient    à   une   distance   inférieure   à
$\sqrt{\fr{Gmm'}{A}}$



\paragraph{Formalisation mathématique}


\begin{definition}[Limite infinie en un réel] Soit $a\in\bbr$, et soit
$f$ une  fonction définie sur  un intervalle $I$.  Dire  qu'une fonction
$f$  a pour  limite  $+\infty$ en  $a$  signifie que  tout voisinage  de
$+\infty$ contient  TOUTES les  valeurs de $f(x)$  prises dans  tous les
voisinages de $a$.
 \end{definition}


La formulation  fait peur mais j'espère que  l'illustration physique est
assez parlante. Ici, $a$ a pour valeur 0 et $I=]0\pv +\infty[$.



\subsection{Limite finie en l'infini}

\paragraph{Approche intuitive}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{newlimfonc.16}
\end{center}
%\end{figure}

À partir  d'un certain seuil,  on peut faire  rentrer toute la  courbe à
l'intérieur d'un tube de diamètre aussi petit que l'on veut.


\paragraph{Illustration physique}


Vous savez qu'au  moment de démarrer votre 309  custom megabass, l'huile
du moteur est froide puis la température d'huile augmente pour finir par
se stabiliser autour  de 90°C, que vous rouliez 30  minutes ou 32 heures
(sauf incident).

On  peut  modéliser  ce   comportement  en  disant  que  la  température
$\theta$ de l'huile évolue en fonction du temps $t$ selon la loi~:

$$\theta(t)=\tau\pa{1-\frac{1}{(t-1,1)^k}}$$
avec $k$ une constante dépendant de la viscosité de l'huile et $\tau$ la
température du régime stationnaire (90°C pour votre custom).

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.16}
\end{center}


Ainsi, si l'on veut que la température $\theta$ reste comprise dans
l'intervalle  $]\tau-\e,\tau+\e[$,  il  suffit  d'attendre  suffisamment
longtemps.


\paragraph{Formalisation mathématique}



\begin{definition}[Limite finie  en l'infini]  On dit que  $f(x)$ tend
vers  $\ell$ quand  $x$  tend  vers $+\infty$  lorsque,  pour tout  réel
$\e>0$, tout intervalle  $]\ell-\e,\ell+\e[$ contient toutes les valeurs
de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
 \end{definition}

Je  vous laisse  bien sûr  adapter  cet énoncé  au cas  d'une limite  en
$-\infty$.




\subsection{Limite infine en l'infini}


Vous connaissez  la formule donnant  l'énergie cinétique d'un  solide de
masse se déplaçant à la vitesse $v$~:
$$\ER_C=\fr{1}{2}mv^2$$ 

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.17}
\end{center}


Si l'on  veut que  l'énergie cinétique reste  supérieure à  une certaine
valeur quelconque  strictement positive $\ER_{\text{seuil}}$,  il suffit
que la vitesse reste supérieure à une certaine valeur $v_0$ qui dépendra
du choix de $\ER_{\text{seuil}}$.

\paragraph{Formalisation mathématique}



\begin{definition}[Limite infinie en l'infini]  On dit que $f(x)$ tend
vers  $+\infty$ quand  $x$ tend  $+\infty$ lorsque,  pour tout  réel $A$
strictement  positif,  l'intervalle  $]A,+\infty[$ contient  toutes  les
valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
 \end{definition}
































\section{Les théorèmes}

\tsx  Je  commence  à  m'habituer  à ces  définitions  mais  serons-nous
toujours obligés d'y revenir pour calculer des limites ?

\pro Rassurez-vous, dans la plupart  des cas, nous pourrons utiliser les
théorèmes que vous avez en fait découvert l'an passé.

Mais avant toute chose, voici le principal théorème du cours





\begin{theoreme}[]  En  analyse,   un  dessin  avant  de  résoudre
l'exercice tu feras.
\end{theoreme}
      


\subsection{Théorèmes de comparaison}

\pro Ce théorème est résumé par le dessin suivant:



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.8}
\end{center}




\begin{theoreme}[] Si pour tout $x\se m$ on a $g(x)\se f(x)$ et si
$\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, alors $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$
\end{theoreme}


\tsx En fait,  ça veut dire que  si on est plus grand  que quelque chose
qui tend vers $+\infty$, on tend soi-même vers $+\infty$.

\pro C'est cela,  oui, et il existe le pendant en  $-\infty$ que je vous
laisse imaginer. Maintenant, le dessin  est bien beau, mais il s'agirait
de démontrer ce résultat. Or nous n'avons que la définition de la limite
en magasin, donc utilisons-là.

 
On veut  prouver que  $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$, donc on  considère un
réel positif $A$ quelconque.

Puisque $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, il existe un réel $M$ tel que, pour
tout $x\se M$, on a $f(x)\se A$

De plus, pour tout $x\se m$, on a $g(x)\se f(x)$

Donc, si on appelle $\mu$ le plus  grand des réels $m$ et $M$, pour tout
$x\se    \mu$,   on    a    $g(x)\se   A$,    ce    qui   exprime    que
$\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$.

\medskip

Par  exemple   $\Lim{+\infty}\sqrt{x}=+\infty$  et  $g(x)=\sqrt{x}+|\sin
x|\se \sqrt{x}$ pour tout réel  $x$, donc par comparaison des limites on
obtient que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$.



 
\subsection{Théorèmes des gendarmes}

\pro  Un nom qui  fait un  peut peur  et qui  laisse imaginer  le pauvre
prisonnier entouré de deux fiers à  bras en uniforme. On aurait pu aussi
l'appeler  théorème  des  portes  d'ascenseur,  théorème  de  la  mouche
écrasée,  théorème  du  rouleau   compresseur,  et  j'en  passe  et  des
meilleures.

Comme d'habitude, l'idée vient du petit dessin suivant

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.9}
\end{center}

Une fonction $f$ est coincée entre deux fonctions $g$ et $h$ qui tendent
vers $\ell$ en  $+\infty$, alors $f$ elle-même va  tendre vers $\ell$ en
$+\infty$. Il ne reste plus qu'à trouver un énoncé et une démonstration.

\tsx Je veux bien donner l'énoncé:

\begin{theoreme}[Théorème des  gendarmes en l'infini]  Soient $f$,
$g$ et $h$ des fonctions et $\ell$ et $A$ deux réels.

Si  $\Lim{+\infty}g(x)=\Lim{+\infty}h(x)=\ell$ et  que  $g(x)\ie f(x)\ie
h(x)$ pour tout $x\se A$, alors $\Lim{+\infty}f(x)=\ell$
\end{theoreme}


\pro  La démonstration  se déduit  du dessin  : on  fixe un  réel $\e>0$
quelconque.

Comme $\Lim{+\infty}g(x)=\ell$,  il existe un  réel $A_g$ tel  que, pour
tout        $x>A_g$        on       a        $g(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$,
i.e. $\ell-\e<g(x)<\ell+\e$

Comme $\Lim{+\infty}h(x)=\ell$,  il existe un  réel $A_h$ tel  que, pour
tout        $x>A_h$        on       a        $h(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$,
i.e. $\ell-\e<h(x)<\ell+\e$

Soit $M$  le plus grand  des réels  $A_g$, $A_h$ et  $A$, alors on  on a
simultanément pour  tout $x>M$ $$\ell-\e<g(x)\ie  f(x)\ie h(x)<\ell+\e$$
ce qui traduit que $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$.



\medskip

On  admettra en  terminale que  ce  théorème s'applique  aussi pour  des
limites en des valeurs finies (il suffirait pour le prouver de connaître
les définitions des limites en des valeurs finies)

\begin{theoreme}[Théorème  des gendarmes] Soient  $f$, $g$  et $h$
des fonctions, $\ell$ et $A$ deux réels et $\omega$ un réel ou l'infini.

Si  $\Lim{\omega}g(x)=\Lim{\omega}h(x)=\ell$  et  que  $g(x)\ie  f(x)\ie
h(x)$ pour tout $x\se A$, alors $\Lim{\omega}f(x)=\ell$
\end{theoreme}




Par exemple, nous pouvons  maintenant étudier la limite de $f~:~x\mapsto
\fr{\sin x}{x}$ en $+\infty$.

En effet, vous savez que, pour tout $x\in\bbr$, on a $-1\ie\sin x\ie 1$.
Pour $x>0$, on  obtient donc $$-\fr{1}{x}\ie\fr{\sin x}{x}\ie\fr{1}{x}$$
Or $\Lim{+\infty}-\fr{1}{x}=\Lim{+\infty}\fr{1}{x}=0$,  donc, d'après le
théorème des gendarmes on obtient
$$\Lim{+\infty}\fr{\sin x}{x}=0$$

\subsection{Opérations sur les limites}

\pro Il suffit d'ouvrir votre livre à la page 36 : toutes ces propriétés
sont admises même si elles sont démontrables à l'aide des définitions.

Vous devez  malgré tout garder en  tête qu'apprendre un  tel tableau est
inutile~:~il  faut   le  sentir  et   vous  laisser  guider   par  votre
intuition...

Pour cela, vous  vous doutez bien qu'un infini  l'emportera toujours sur
un réel et que deux réels se comportent comme d'habitude.

Mais un  faux réel se  cache dans ce  tableau~:~0 qui n'est pas  le réel
zéro mais représente ici un \emph{infiniment petit}.

Dans quatre cases du  tableau se cachent des \emph{formes indéterminées}
qui sont en fait des combats d'infinis (grands et petits).

Souvenez-vous  de   $\aleph_0$~:~il  est  égal   à  son  carré,   à  son
double... Il se passe des choses bizarres vers l'infini...

Mais  gardons  en  tête  l'idée  de  combat~:~c'est  le  plus  fort  qui
l'emportera~!

Considérons par exemple $x^3-x$ au voisinage de $+\infty$~:~$x^3$ et $x$
tendent  tous les  deux vers  $+\infty$.  On  doit donc  retrancher deux
infinis différents~:~qui sera le plus  fort~? Y aura-t-il match nul~? On
ne  peut  pas  le  savoir  a priori~:~il  faut  essayer  de  \emph{lever
l'indétermination}.

Ici, un moyen simple est de  factoriser par celui qu'on pressent être le
plus fort~:~$x^3$.

\[x^3-x=x^3 \left(1-\frac{1}{x^2}\right)\]

Or  $\Lim{+\infty}\frac{1}{x^2}=0$  (un  grain  de riz  divisé  par  1,2
milliards  de  chinois, ça  ne  laisse pas  grand  chose  à manger  pour
chacun...) donc $\Lim{+\infty}1-\frac{1}{x^2}=1$.

Or $\Lim{+\infty}x^3=+\infty$~:~on est donc ramené à \og multiplier\fg{}
$+\infty$ par un nombre positif...plus de problème.

\subsection{Limites de fonctions composées}

\pro J'espère que vous êtes à l'aise dans la composition - décomposition
de  fonctions. Par  exemple, pouvez-vous  décomposer la  fonction $\varphi~:~
x\mapsto \sqrt{-3x+1}$ en deux fonctions élémentaires ?

\tsx       J'y        arrive       encore       $$x\xrightarrow{t\mapsto
-3t+1}-3x+1\xrightarrow{t\mapsto\sqrt{t}}\sqrt{-3x+1}$$

\definecolor{vert}{rgb}{0,0.392193,0}

\pro Bien.  supposons  maintenant que vous vouliez étudier  la limite de
$\varphi$ en  $-\infty$. Nous  allons être amenés  à décomposer le  calcul de
limite. Pour  nous guider, nous  aurons besoin de la  propriété (admise)
suivante :

    \begin{propriete}[Limite  de fonctions  composées]  Soient $\omega$,
$\Omega$ et $\ell$  des réels ou l'infini et $f$  et $g$ deux fonctions,
alors
\[ \left.\begin{array}{l}
    \Lim{\textcolor{red}{\omega}}f(x)=\textcolor{magenta}{\Omega}\\
\ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{\Omega}}g(T)=\textcolor{vert}{\ell}\end{array}\right
\rbrace\Longrightarrow                \Lim{\textcolor{red}{\omega}}g\circ
f(x)=\textcolor{vert}{\ell}\]
 \end{propriete}





Appliquez cette propriété au cas étudié.

\tsx Avec les couleurs, cela donne
$$                                                 \left.\begin{array}{l}
    \Lim{\textcolor{red}{-\infty}}-3x+1=\textcolor{magenta}{+\infty}\\
\ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{+\infty}}\sqrt{T}=\textcolor{vert}{+\infty} \end{array}
\right\rbrace                                         \stackrel{\text{par
composition}}{\Longrightarrow}\Lim{\textcolor{red}{-\infty}}
\varphi(x)=\textcolor{vert}{+\infty}$$

\section{Comportement asymptotique}

\subsection{Comment  démontrer  qu'une  courbe  admet une  asymptote  au
voisinage de l'infini~?}

\pro Le mot asymptote évoque sûrement quelque chose pour vous.


\tsx C'est quand la  courbe ressemble à une droite et il  y a un rapport
avec les limites, mais j'avoue avoir quelque peu oublié le reste.


\pro Et bien reprenons depuis le  début. Et pour commencer, bien sûr, un
petit dessin~:

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.11}
\end{center}


Pour traduire numériquement le fait que la courbe vient <<~se coucher~>>
sur la droite, il faudrait mettre en évidence que $e(x)$ devient de plus
en plus petit à mesure que $x$ augmente.

\tsx   \c   Ca   sent  la   limite   :   il   doit  falloir   dire   que
$\Lim{+\infty}e(x)=0$

\pro Exactement~! Or $e(x)=f(x)-(ax+b)$ donc


\begin{theoreme}[asymptote au voisinage de l'infini]\label{asymptote} La courbe d'équation $y=f(x)$ admet la droite
d'équation  $y=ax+b$ comme  asymptote au  voisinage de  $+\infty$  si et
seulement si $$\Lim{+\infty}\cro{f(x)-(ax+b)}=0$$
\end{theoreme}



On obtient un théorème similaire en $-\infty$.



\subsection{Si   $\mathbf{\Lim{+\infty}f(x)=+\infty}$,  alors  $\mathbf{\CR_f}$   admet  -elle
forcément une asymptote au voisinage de $\mathbf{+\infty}$~?}

\MATA{ Je sens le piège} \textbf{(tout haut)} Non, bien sûr !

\pro Alors donnez-moi un contre-exemple.

\MAT{ Si j'ai bien compris, la courbe doit <<~ressembler~>> à une droite
au voisinage de l'infini, or  une droite est la représentation graphique
d'une fonction affine.  Ainsi, pour que la courbe  admette une asymptote
en l'infini,  il faut qu'elle  soit la représentation d'une  fonction du
style
$$x\mapsto ax+b+e(x)$$
avec $e(x)$ qui tend vers 0  en l'infini, c'est à dire une partie affine
plus une partie qui compte pour du beurre.}

\pro Votre esprit d'analyse m'impressionne mais vous ne m'avez pas donné
de contre-exemple.

\MAT{  Il  suffit  de  prendre  une  partie  non  affine  plus  un  bout
négligeable. Disons  $x\mapsto x^2+1/x$.  Je rentre également  la courbe
d'équation $y=x^2$ et j'obtiens sur l'écran de ma calto :
}

\begin{pro-courbemulti}{1}
 [
 [x^2,"rouge"],
 [x^2+1/x,"bleu"]
 ],
 -3.5,3.5,-3,12, //xmin,xmax,ymin,ymax,
 1,2,1,2,1,1, //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
 [ // ----------------- debut des options
 ["base"] // pour avoir les vecteurs de base
 ]// ----------------- fin des options
\end{pro-courbemulti}




\pro Vous obtenez  ce que vous appellerez peut-être  un jour une branche
parabolique.   Mais   il   existe   des  comportements   beaucoup   plus
irréguliers. Néanmoins vous avez  bien compris que l'on peut reconnaître
des termes  dominants dans une expression. Attention,  c'est un problème
local.  Dans votre  exemple, $x^2$  est dominant  en $+\infty$,  mais au
voisinage de zéro, c'est $1/x$ qui domine.

\MATA{Ça va, j'ai compris : global vs local. Il commence à radoter.}

\pro  Après  avoir  étudié  les  quelques exemples  présentés  dans  les
recettes à Bac  \vpageref{recette}, il ne vous reste  plus qu'à vous
entraîner sur une petite centaine 
d'exercices pendant ma pause méditation. Que la force soit avec vous~!


\subsection{Dominants et dominés}

\tsx Votre intitulé fait un peu peur.

\pro \'Evitons tout anthropomorphisme et contentons-nous de flotter dans
l'éther mathématique.

Comme nous venons de le remarquer, il faudra cette année le plus souvent
repérer  à l'\oe  il  nu la  limite  en repérant  les  dominants et  les
dominés.  Dans l'exemple  précédant, $1/x$  était le  terme  dominant et
$x^2$  le  terme  dominé  au  voisinage  de  0,  donc  c'est  $1/x$  qui
<<~portera~>>  la  limite. Mais  au  voisinage  de  l'infini, les  rôles
s'échangent.


C'est parfois moins visible.

Prenez par exemple $3x^2-132x+27$ au voisinage de $+\infty$. Nous sommes
confrontés  à une  forme indéterminée  $\infty-\infty$. Mais  fermez les
yeux et  regardez les  graphes des fonctions  $x\mapsto x$  et $x\mapsto
x^2$ :vous voyez bien que $x^2$  est bien plus fort que $x$ au voisinage
de l'infini, et  donc que c'est $x^2$ qui porte la  limite qui sera donc
$+\infty$.


\tsx Je pourrai écrire ça sur mes copies ?

\pro Et  non : ce  n'est qu'un support  à l'intuition, qui  peut parfois
être dangereuse comme nous le verrons dans les <<~ vrai ou faux~>>. Pour
le prouver  par le calcul,  on peut par  exemple mettre le plus  fort en
facteur :

Pour tout $x\neq 0$, $3x^2-132x+27=x^2\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}$

Or 


{\small $$\left.\begin{array}{r}\left.\begin{array}{l}\Lim{+\infty}\fr{132}{x}=0\\\Lim{+\infty}\fr{27}{x^2}=0\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par
somme}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}=3\\\Lim{+\infty}x^2=+\infty\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par
produit}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}3x^2-132x+27=+\infty$$
}

 










\section{Propri\'et\'es des fonctions continues sur un
intervalle}

\subsection{Intervalle}


\pro Tout d'abord, qu'est-ce qu'un intervalle~?

\MAT{Ben c'est quelque chose du style $[a,b]$, ou $]a,b]$ ou
$[a,b[$, ou $]a,b[$, ou $]-\infty,b]$ ou etc.}

\pro C'est un peu vague. Malheureusement une définition rigoureuse
n'est pas envisageable en Terminale. Posons-nous au moins une
question~: est-ce que $\bbr^*$ est un intervalle~?

\MAT {Je pense que non~: il n'entre dans aucune des catégories car
il a un <<~trou~>>.}

\pro C'est bien vu. Nous devrons nous contenter de cette absence
de <<~trou~>> pour caractériser les intervalles.




 \subsection{Quelles sont les fonctions dont le graphe est un
trait continu ?}


\pro On peut déjà remarquer que c'est le cas de la plupart des
fonctions que vous connaissez \mat. En effet, on peut considérer
que les graphes des fonctions polynômiales, rationnelles, racine
carrée, sinus,... sont des <<~traits continus~>>, c'est-à-dire
qu'on n'a pas à <<~lever le crayon~>> pour les tracer.

\sm

Mais attention, ce n'est pas toujours le cas. Nous avons déjà
étudié la fonction
$$g:[0,2]\to\bbr,\,x\mapsto
\begin{cases}
\cos x&{\rm si}\ x\in[0,1]\\
\cos(x-1)&{\rm si}\ x\in]1,2]\\
\end{cases}$$
et son graphe n'est pas un <<~trait continu~>>.

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.3}
\end{center}

\MAT{Mais cette notion de <<~trait continu~>> a-t-elle un sens
mathématique  ?}


\pro Pour le moment, cette notion de <<~trait continu~>> est juste
une notion intuitive que tout le monde comprend. Et ce que je vous
propose de faire maintenant, c'est de chercher quelle  propriété
une fonction doit vérifier pour que son graphe soit un <<~trait
continu~>>.


\sm

La première condition est que la fonction soit définie sur un
intervalle. Vous voyez bien par exemple que le graphe de la
fonction
$$f:\bbr^*\to\bbr,\,x\mapsto\frac{1}{x}$$
n'est pas un <<~trait continu~>> et la raison en est que $\bbr^*$
n'est pas un intervalle.

\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.7}
\end{center}

On se limite donc à une fonction définie sur un intervalle.
Pouvez-vous me dire, \mat, à quelle condition son graphe est un
<<~trait continu~>> ?

\MAT{J'ai peut-être une idée. La fonction $g$ précédente est bien
définie sur un intervalle mais elle  a un graphe <<~en deux
morceaux~>> parce que $g(x)$ est défini par deux formules
différentes suivant les valeurs de $x$. Mais s'il n'y a qu'une
seule formule, comme pour les fonctions polynomiales, cosinus ...,
alors le graphe sera un trait continu. }


\pro Non \mat. La fonction partie entière
$$f:\bbr\to\bbr,\,x\mapsto E(x)$$
est définie par <<~une seule formule~>>, comme vous dites, mais il
faut lever le crayon pour tracer son graphe.

\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.6}
\end{center}

Vous sentez bien que la notion de <<~fonction définie par une
seule formule~>> est trop vague. Il faudrait préciser son sens, et
ce n'est pas facile. Revenons plutôt à la fonction $g$ : à votre
avis, pour quelle raison son graphe n'est-il pas un trait
continu~?

\MAT{Peut-être parce que les limites de $g$ à gauche et à droite
en 1 sont différentes.}

\pro C'est ça, et comme ces deux limites sont différentes, $g$ n'a
pas de limite en 1. Plus généralement, si l'on considère une
fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, le graphe $\Gamma_f$
ne peut être un <<~trait continu~>> que si $f$ admet une limite en
tout point $a$ de $I$. Et d'ailleurs, comme $f$ est définie en
$a$, cette limite est nécessairement égale à $f(a)$. On constate
que c'est cette condition
 sur $f$ qui rend compte du fait que $\Gamma_f$ est un <<~trait
continu~>>. Mais plutôt que de dire ~\textit{le graphe de $f$ est
un trait continu}, on dira  \textit{la fonction $f$ est continue}.


  \begin{definition}

Soit $I$ un intervalle de $\bbr$ et $f$ une
fonction de $I$ vers $\bbr$. On dit que $f$ est continue lorsque,
pour tout $a\in I$, on a $\ds\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, ce qui
revient à dire que $f$ est continue en tout point de $I$. 
\end{definition}



\MAT{Mais il est impossible de vérifier pour chaque point que la
fonction y est continue~!}

\pro Certes~! Nous pouvons malgré tout aisément vérifier que les
fonctions polynômes, sinus, cosinus, valeur absolue, racine carrée
sont continues.

Dans la pratique nous utiliserons les théorèmes opératoires. Nous
pouvons ainsi montrer, grâce aux théorèmes opératoires sur les
limites que les sommes, produits, quotients et composées des
fonctions de référence sont continues \textbf{là où elles sont
définies}.

\sm

Par exemple, nous écrirons que la fonction $x\mapsto
\fr{x^2-3x+1}{x-2}$ est continue sur $]-\infty,2[$ ET sur
$]2,+\infty[$ comme quotient de fonctions polynomiales continues.

\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.8}
\end{center}





\MAT{Donc si j'ai bien compris, il faut interpréter la continuité
d'une fonction définie sur un intervalle en disant que son graphe
est un <<~trait continu~>>.}

\pro C'est ça.

%\MAT{Mais vous m'aviez expliqué que la
% continuité de
% $f$ en $a$ ne signifiait pas que $\Gamma_f$ soit un <<~trait continu~>> au voisinage du
% point d'abscisse $a$. C'est assez curieux.}
%
%\pro Tout à fait ! Mais il faut distinguer la continuité
%\textit{en point donné} et la continuité \textit{sur tout un
%intervalle} qui elle peut s'interpréter en terme de <<~graphe
%continu~>>.
%

\subsection{Application fondamentale~:~une fonction continue peut-elle changer de signe sans
s'annuler ?}


\MAT{Je pense que non ! Car pour relier par un <<~trait continu~>>
un point situé en dessous de l'axe $Ox$ à un point situé au
dessus, il faudra couper cet axe.}

\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.9}
\end{center}

\pro Très bien ! L'interprétation intuitive de la continuité de
$f$ vous a permis de deviner le résultat. Mais il faut maintenant
le démontrer rigoureusement en revenant à la définition de la
continuité. Autrement dit, étant donnée une fonction $f$ continue,
définie sur  un intervalle contenant $a$ et $b$ avec $a<b$ et
telle que $f(a)$ et $f(b)$ soient de signes opposés, comment
montrer l'existence d'un zéro de $f$ sur $]a,b[$, c'est-à-dire
d'un élément $c$ de $]a,b[$ tel que $f(c)=0$ ?

\sm

Cette démonstration étant délicate mais constituant une très
intéressante application du théorème des suites adjacentes, nous
nous en occuperons en TD un peu plus tard cette année.


\subsection{Une fonction f continue sur [a,b] prend-elle
toutes les valeurs  comprises entre f(a) et f(b) ?}

\MAT{Est-ce que ce n'est pas quasiment le même problème que celui
de la question précédente ?}

\pro Effectivement. Alors voilà le résultat.
      \begin{theoreme}[Théorème des valeurs intermédiaires]
  Soit $f$ une fonction
continue d'un intervalle $I$ vers $\bbr$, et soient $a$ et $b$
deux éléments de $I$ tels que $a<b$. Alors pour tout réel $k$
compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que
$f(c)=k$.
\end{theoreme}



\begin{center}
\includegraphics{limfonc.19}
\end{center}

La preuve est très simple. Si $f(a)$ ou $f(b)$ est égal à $k$, on
prend $c=a$ ou $c=b$. Et sinon, on applique le résultat de la
question précédente à la fonction auxiliaire
$$g:I\to\bbr,\,x\mapsto f(x)-k$$
On peut le faire car $g$ est continue et car $g(a)$ et $g(b)$ sont
non nuls et de signes opposés puisque $\lambda$ est compris entre
$f(a)$ et $f(b)$.









\section{Croyable mais faux !}

Mathémator  combat les  idées reçues  sur  les limites  : une  interview
exclusive.

\sm

\tsx Est-il  vrai qu'une fonction strictement  croissante tend forcément
vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$~?

\pro  On pourrait le  penser en  effet :  une fonction  qui ne  fait que
croître va forcément monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.


\sm

\tsx Est-il vrai qu'une fonction  qui tend vers $+\infty$ quand $x$ tend
vers $+\infty$ est forcément croissante pour $x$ assez grand~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers l'infini
et au-delà, il va bien  falloir monter sans s'arrêter. Et pourtant c'est
FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.

\sm


%Considérez  par exemple  la suite  de la  bergère allant  au  marché de
%terme général $u_n=n+(-1)^{n+1}+1$.

\tsx Est-il vrai  qu'une fonction bornée tend forcément  vers un réel en
$+\infty$~?

\pro On  pourrait le penser en  effet : puisque la  fonction est bornée,
elle ne  pourra aller vers l'infini,  donc il faut  qu'elle se stabilise
quelque part. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.

\sm


%Considérez par exemple les suites de termes généraux %$u_n=(-323)^n$ et
%$v_n=\sin n$.

\tsx Est-il vrai qu'une suite  ne prenant qu'un nombre fini de valeurs
converge forcément~?

\pro On pourrait le penser en  effet : puisque la suite ne prend qu'un
nombre  fini de valeurs,  elle va  se stabiliser  sur l'une  d'elle. Et
pourtant c'est FAUX~!  


\tsx Est-il vrai qu'une fonction tendant vers $M$
en $+\infty$ est majorée par $M$

\pro J'avoue  que c'est  difficile à croire,  et pourtant la  moitié des
élèves sont tombés dans le panneau lors de l'épreuve du bac 2003.

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.







\section{Recettes à Bac}\label{recette} 
\subsection{Comment  étudier  la position  relative  de deux  courbes~?}
\ill{Soit $\CR$ la courbe d'équation $y=f(x)$ et 
$\CR'$ la courbe d'équation  $y=g(x)$. Pour étudier la position relative
de $\CR$ et $\CR'$, il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$.

En effet, si nous obtenons par exemple $f(x)-g(x)\se 0$ sur l'intervalle
$I$, alors $f(x)\se g(x)$ sur $I$  et donc $\CR$ est au-dessus de $\CR'$
sur $I$. }{swedish_chef}


\subsection{   Comment  montrer  qu'une   courbe  admet   une  asymptote
d'équation y=ax+b au voisinage de $\omega$~?}{ }

Il suffit  de montrer que  $\left[f(x)-(ax+b)\right]$ tend vers  0 quand
$x$ tend vers $\omega$.


\subsubsection{Asymptote horizontale}


  \begin{theoreme} Si une fonction $f$
vérifie  \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\]   alors  la  droite  d'équation
$y=\ell$  est  une  asymptote  horizontale  en  $+\infty$  à  la  courbe
représentative de $f$.
 \end{theoreme}
  
Il s'agit en fait d'un cas particulier du théorème~\vref{asymptote}

\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{analyse20078.1}
  \[\lim_{x\to +\infty}f(x)=2 \,.\]
\end{center}


      \begin{exemple}[] Soit $f$ la fonction définie par
  \[f(x)   =  \frac{x^{2}   -  x   +1}{x^{3}  +   1}\,.\]   Montrer  que
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)  =   0$.   Interpréter  graphiquement  ce
résultat.
\end{exemple}
      
\subsubsection{Asymptote verticale}

\begin{definition} Soit $a$ un réel. Si une fonction $f$ vérifie
  \[\lim_{x\to a}f(x)= + \infty \]  alors la droite d'équation $x=a$ est
une asymptote verticale à la courbe représentative de~$f$.
 \end{definition}

\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{analyse20078.2}
  \[\lim_{x\to 2 \atop x>2}f(x)= + \infty \text{ et } \lim_{x\to 2 \atop
x<2}f(x)= - \infty \,.\]
\end{center}


      \begin{exemple}[]  Soit  $f$  la  fonction définie  par  \[f(x)  =
\frac{x^{2}  -  x  +1}{x -  1}\,.\]  \'Etudier  les  limites de  $f$  au
voisinage de 1 puis interpréter graphiquement ce résultat.
\end{exemple}
   

\subsubsection{Asymptote oblique}

On utilise le théorème~\vref{asymptote}.



\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{analyse20078.3}

  \[\lim_{x\to -\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)=0 \text{ et } \lim_{x\to
+\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)= 0\,.\]
\end{center}


      \begin{exemple}[] Soit  $f$ la fonction  définie sur $]0;+\infty[$
par
  \[f(x)  = \frac{1}{x^{2}}  +  2x -1\,.\]  Prouver  que la  droite
$\Delta$  d'équation $y=2x-1$  est  une asymptote  oblique  à la  courbe
représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.
\end{exemple}
      


\subsection{ Comment montrer qu'une fonction est paire~?}

Il faut vérifier que l'ensemble  de définition de $f$ est symétrique par
rapport à zéro  puis que pour tout réel $x$  de l'ensemble de définition
$f(-x)=f(x)$.

Nous en déduisons  que la courbe est symétrique par  rapport à l'axe des
ordonnées. Il suffira donc d'étudier  la fonction sur la <<~moitié~>> de
l'ensemble  de définition, puis  de déduire  le reste  de la  courbe par
symétrie.

\subsection{ Comment montrer qu'une fonction est impaire~?}

cf le paragraphe précédent  en remplaçant $f(-x)=f(x)$ par $f(-x)=-f(x)$
et <<~symétrique par rapport  à l'axe des ordonnées~>> par <<~symétrique
par rapport à l'origine du repère~>>.

\subsection{ Comment montrer qu'une courbe admet le point A(a,b) comme
centre de symétrie~? }

Faîtes avant  tout un dessin  pour visualiser que  $A$ est le  milieu du
segment        $[MM']$         avec        $M\big(x,f(x)\big)$        et
$M'\big(x',f(x')\big)$.   Alors   d'une   part  $\fr{x+x'}{2}=a$,   donc
$x'=2a-x$ et d'autre part $\fr{f(x)+f(x')}{2}=b$, $i.e.$
$$f(x)+f(2a-x)=2b$$




\subsection{ Comment montrer qu'une fonction est périodique~?}

Il s'agit de trouver un réel  $T$ tel que pour tout réel $x$ appartenant
à l'ensemble de définition de $f$, alors
$$f(x+T)=f(x)$$
Il suffira  alors d'étudier  la fonction sur  un intervalle  de longueur
$T$, par exemple $[0,T]$, puis de  déduire le reste de la courbe par des
translations successives de vecteur $k\ve{i}$, avec $k\in\bbz$.

\sm

Vous   connaissez    bien   sûr   la   fonction    sinus   qui   vérifie
$\sin(x+2\pi)=\sin   x$   pour  tout   réel   $x$   et   qui  est   donc
$2\pi$-périodique.

\subsection{ Comment étudier le signe d'une expression~?}

Vaste problème...Retenir  malgré tout  qu'en règle général,  nous savons
étudier  le  signe  d'un  produit  ou  d'un  quotient  de  polynômes  du
1\textsuperscript{er}     ou     du     2\textsuperscript{nd}     degré,
d'exponentielles  (~qui  sont toujours  positives~),  de  cosinus ou  de
sinus, de  logarithmes népériens...  Vous  chercherez donc en  général à
factoriser ou à réduire au même dénominateur votre expression.

\sm

 Si cela s'avère impossible  algébriquement, on vous suggérera d'étudier
une fonction.  Alors soit elle  admettra comme extremum zéro,  soit vous
déterminerez une approximation de la valeur d'annulation de $f$ grâce au
théorème  de la  bijection  et vous  conclurez  à l'aide  du tableau  de
variations.

\subsection{Qu'est-ce qu'une fonction croissante sur I~?}

C'est une fonction qui conserve l'ordre sur $I$.


\subsection{ Comment lever une indétermination~?}

Il  n'y a  pas une  méthode mais  des méthodes.  Il ne  s'agit  donc pas
d'apprendre  par c\oe  ur des  recettes  (tiens tiens...),  ce qui  vous
induirait à écrire de grosses sottises.

Vous pouvez dans un  premier temps repérer des termes <<~négligeables~>>
devant d'autres et  factoriser par le plus <<~fort~>>  (c'est le cas par
exemple  des  fonctions  rationnelles   au  voisinage  de  $+\infty$  ou
$-\infty$).

Vous pouvez minorer ou majorer  par des valeurs permettant de conclure à
l'aide des théorèmes de comparaison (c'est le cas de la fonction cosinus
qui   vérifie   \[-1\ie\cos   x\ie   1\]   pour   tout   réel   $x$   et
donc  \[-\fr{1}{x}\ie \fr{\cos  x}{x}\ie \fr{1}{x}\]  pour $x\neq  0$ et
finalement
\[\ds\lim_{x\to+\infty}\fr{\cos  x}{x}=0\] par  application  du théorème
des gendarmes.


Vous pouvez  utiliser les propriétés algébriques  de certaines fonctions
pour           retrouver          des           limites          connues
( $x^2+1=\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}$...)

Dans  le cas  de  l'étude  de limites  de  fonctions irrationnelles,  le
recours à la quantité conjuguée peut s'avérer utile.

Dans les  cas désespérés, vous  pouvez essayer de reconnaître  la limite
d'un taux de variation et donc utiliser la dérivée associée.





\subsection{Y a-t-il différents
types de discontinuité ?}


\pro Oui ! Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si
elle a une limite à gauche et une limite à droite en $a$ et que
ces deux limites sont égales à $f(a)$. Elle peut donc être
discontinue en $a$ pour plusieurs raisons.

\begin{itemize}

\item  Première raison possible : $f$ admet une limite à gauche et à
droite en $a$, mais ces deux limites ne sont pas égales. C'est le
cas de la fonction $f_2$ de la question précédente.

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.3}
\end{center}



\item Deuxième raison possible : $f$ admet une limite commune à gauche
et à droite en $a$, mais $f$ n'est pas définie en $a$ ou admet une autre valeur que la limite
commune.
 C'est le cas par exemple de la fonction sinus amorti, très importante en physique

\[f_4~:~x\mapsto \frac{\sin x}{x}\ \text{ pour tout } x\neq 0\]

Nous avons montré en exercice que $\limg{0}f_4(x)=\limd{0}f_4(x)=\Lim{0}=1$.

Il suffit donc maintenant de créer la \emph{nouvelle fonction} $g$ suivante

\[g~:~x\longmapsto \begin{cases}\frac{\sin x}{x}\ \text{ pour tout } x\neq 0\\ 0\
  \text{ si }x=0\end{cases}\]


\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.5}
\end{center}


On dit alors qu'on a \emph{prolongé $f_4$ par continuité en 0}.

\item Troisième raison possible, et les choses deviennent compliquées~:
$f$ n'a pas de limite à droite ou à gauche en $a$. Il faut bien
avouer que dans la pratique, presque toutes les fonctions ont une
limite à gauche et à droite. Mais il faut avoir vu ces
contre-exemples une fois dans sa vie, pour bien comprendre la théorie, comme
celui de la fonction $f_5$ définie par
$$\text{pour tout } x\in\bbr^*\ \ f_5(x)=\cos\left({1}/{x}\right),\ \text{et }
f_5(0)=0$$



\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.4}
\end{center}




Elle n'a pas de limite à droite ni à gauche  en 0. Quand $x$ tend
vers $0$, $f_5(x)$ oscille continûment entre $-1$ et $1$, de plus
en plus vite à mesure que $x$ se rapproche de $0$.

Pour montrer que $f_5$ n'a pas de limite à droite en 0, nous aurons besoin d'avoir étudié les
suites~:~il faudra donc patienter un peu.

\MATA{Ouf !...}

\end{itemize}

%allons utiliser un raisonnement très important à comprendre.
%
% On
%remarque
% que tout
%intervalle de la forme $]0,\alpha]$ contient un réel de la forme
%$1/2n\pi$ et un autre de la forme $1/(2m+1)\pi$ avec $n$ et $m$
%entiers, ce qui conduit à une contradiction puisque
%$$f_5\bigl(1/2n\pi\bigr)=1\ \ {\rm et}\ \   f_5\bigl(1/(2m+1)\pi\bigr)=-1\cdot$$
%
%\MAT{Je ne vois pas trop où est la contradiction. Ce mélange de
%suite et de fonctions m'embrouille.}
%
%\pro Auriez-vous oublié la fin de l'épisode II~: si $\ds\lim_{n\to
%+\infty}u_n=0$ et $\ds\lim_{x\to0}f(x)=\ell$, alors
%$\ds\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=\ell$.
%
%\MAT{ah ouais~! Les deux suites $(1/2n\pi)$ et
%$\bigl(1/(2n+1)\pi\bigr)$ convergent vers 0, donc si $f_5$
%admettait une limite, les suites $\bigl(f_5(1/2n\pi)\bigr)$ et
%$\Big(f_5\big(1/(2n+1)\pi\big)\Big)$ convergeraient vers cette
%même limite, ce qui n'est pas le cas. Comme nous aboutissons à une
%contradiction, c'est que notre hypothèse de départ était fausse,
%donc $f_5$ n'admet pas de limite en $+\infty$.}
%
%\pro On f'ra quelque chose de vous, jeune Mataïe.
%



\subsection{Comment montrer que deux courbes se rencontrent ?}

\MAT{Mais c'est encore le même genre de problème, à condition  de
supposer que les deux courbes sont des <<~traits continus ~>>.}

\pro Ce que nous supposerons. Et vous avez raison, on pourra
\textit{souvent} se ramener au théorème des valeurs
intermédiaires.


Montrer que les graphes des fonctions continues $f$ et $g$ se
rencontrent revient à montrer qu'il existe $c$ tel que
$f(c)=g(c)$. On introduit alors la \textit{fonction auxiliaire}
$f-g$, et pour montrer qu'elle s'annule, il suffit d'après le
théorème des valeurs intermédiaires de trouver $a$ et $b$ tels que
$f(a)\ie g(a)$ et $f(b)\se g(b)$.

\sm

On peut par exemple utiliser cette technique pour montrer qu'une
fonction $f$ continue définie sur $[0,1]$ et à valeurs dans ce
même intervalle $[0,1]$ admet un point fixe, car cela revient à
montrer que son graphe rencontre la première bissectrice.

\sm

Nous traiterons ces exemples en exercices.


\MAT{Vous aviez l'air de dire tout à l'heure que le théorème des
valeurs intermédiaires ne permettait pas toujours de montrer que
deux courbes se rencontrent.}

\pro Oui, dans le cas où les deux courbes se rencontrent <<~sans
se croiser~>>. Par exemple, cela peut se produire avec le graphe
d'une fonction ayant certaines propriétés et l'une de ses
tangentes.

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.242}
\end{center}
 On peut avoir $f(c)=g(c)$ sans qu'il existe $a$ et $b$
 distincts
tels que $f(a)\ie g(a)$ et $f(b)\se g(b)$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    nouveauté 2003
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\subsection{ Comment montrer qu'une équation admet une unique
solution~?}


\pro Le TVI s'avère fort utile comme vous venez de le découvrir,
pour montrer qu'une équation admet \textit{au moins} une solution.
Il a pourtant un défaut\,\footnote{Contrairement à vous, chanceux
lecteur, \mat\   ne peut distinguer à l'oreille les caractères en
italique}.

\tsx On sait que l'équation admet \textit{au moins} une solution,
mais on ne sait pas \textit{combien} de solutions cela
représente\,\footnote{Vous devez admettre que \mat \   assure un
max}.

\pro Vous avez mis le sabre laser sur la faiblesse du TVI. En
fait, il suffit de  rajouter une petite hypothèse au TVI pour le
voir se transformer en TSU.

\tsx TSU, TSU, mmmm.... J'y suis ! Théorème de LA solution
unique\,\footnote{Faut quand même pas pousser : c'est plus un
élève, c'est un héros de film américain}.

\pro Oui ! Alors, comment être sûr de l'unicité de la solution ?

\tsx Je suppose qu'un petit dessin devrait m'aider.

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.20}
\end{center}

En fait, si la courbe joue aux montagnes russes, certains réels de
l'intervalle $\big[f(a),f(b)\big]$ auront plusieurs antécédents,
ce qui ne sera plus vrai si $f$ est strictement monotone.

\pro Nous pouvons à présent énoncer le théorème de LA solution
unique\,\footnote{Pour le bac, un tableau de variation complété
suivi d'une phrase du style <<~ par lecture du tableau de
variation~>> suffira}


      \begin{theoreme}[Théorème de la solution unique (Théorème de la bijection)]
  Soit $f$ une fonction
\textbf{continue} et \textbf{strictement monotone} d'un intervalle
$I$ vers $\bbr$, et soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$ tels
que $a<b$. Alors pour tout réel $k$ \textbf{compris entre} $f(a)$
et $f(b)$, il existe un \textbf{unique} réel $c\in[a,b]$ tel que
$f(c)=k$.
\end{theoreme}
      


\smallskip

La démonstration en est simple : l'hypothèse rajoutée nous indique
dans quelle direction chercher. Je vous laisse donc la rédiger...

\tsx ...à titre d'exercice, je sais.




\subsection{Comment résoudre une équation numérique par
dichotomie~?}


\pro Fort de ces nouveaux pouvoirs mathématiques, montrer que
l'équation

$$x^4+x=1$$

admet une unique solution $x_0$ sur $[0,1]$ ne va vous poser aucun
problème.

\tsx Il doit suffire d'étudier la fonction
$$ f~: ~ [0,1]\to \bbr,\quad x\mapsto x^4+x$$
D'après les théorèmes généraux elle est continue sur $[0,1]$. On
vérifie aisément qu'elle est srictement croissante sur cet
intervalle. Enfin $f(0)=0$ et $f(1)=2$. Je dégaine alors le TSU
pour conclure.

\pro Vous assimilez vite. Comment feriez-vous, \mat, pour
déterminer une valeur approchée de $x_0$ à $10^{-2}$ près avec
votre calculatrice~?

\tsx Rien de plus simple : je tape
\begin{center}
\texttt{solve(x\textasciicircum 4+x=1,x)}
\end{center}

et la calculatrice me répond

\begin{center}
\texttt{-1.220744085,\ \ 0.7244919590}
\end{center}

Or, comme $x_0\in[0,1]$, je ne garde que le deuxième solution.

\pro, \textit{à part}~: Il m'a roulé...\textit{(à voix haute)}~
Certes, certes...euh...mais imaginons que votre calculatrice n'ait
pas de touche \texttt{solve}.

\tsx J'essaie différentes valeurs. Si je tombe sur une image
supérieure à 1, je prend un $x$ plus petit, et vice versa.


\pro En fait, on peut systématiser la recherche des différentes
valeurs de $x$ pour minimiser le nombre de calculs.

Considérons une fonction $g~:~ [a,b]\to \bbr$ strictement
croissante, continue et telle que $g(a)<k$ et $g(b)>k$. Alors
l'équation $g(x)=k$ admet une unique solution $c$ dans $]a,b[$
d'après le TSU. Pour obtenir une valeur approchée de $c$, on va
<<~dichotomer~>> le segment $[a,b]$, c'est-à-dire qu'on va le
couper en deux, par exemple par le milieu $m=(a+b)/2$. Le monde
alors se sépare en deux catégories :

\bez

\item si $g(m)<k$, alors $c\in]m,b[$

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.191}
\end{center}

\item si $g(m)\se k$, alors $c\in]a,m]$


\begin{center}
\includegraphics{limfonc.192}
\end{center}

\ez

En répétant ce procédé, on pourra construire une suite de segments
<<~emboîtés~>> contenant $c$, centrés en $m_n$ et de longueurs
aussi petites que l'on veut. Vous pourrez peut-être démontrer
l'année prochaine que la suite $(m_n)$ converge vers $c$, et que
les différentes valeurs de $m_n$ sont autant de valeurs approchées
de $c$.


\tsx Mais à quoi sert cette méthode puisque ma calculatrice
possède la fonction \texttt{solve}~?

\pro Justement, le (la) programmeur(se) de votre calculatrice a
probablement utilisé une méthode pour
écrire le programme associé à la touche \texttt{solve}, un peu plus compliquée que la dichotomie,
mais un futur
scientifique et informaticien comme vous doit donc connaître la
méthode de dichotomie.

\subsection{Avec XCAS}

Pour mettre tout ceci  en pratique, ouvrons XCAS

\begin{lstlisting}
dicho(f,p,a,b):={
local aa,bb,k;
aa:=a;
bb:=b;
k:=0; // on cree un compteur d'iterations
 while( (bb-aa)>p) {
  if ( f(0.5*(bb+aa))*f(bb)>0 ) 
    then{ bb:=0.5*(aa+bb) }
    else{ aa:=0.5*(aa+bb) }
 k:=k+1; // on rajoute 1 au compteur
 }
return 0.5*(bb+aa)+" est la solution trouvee  apres " +k+ " iterations";
}:;

\end{lstlisting}


ce qui donne pour $\sqrt{2}$

\begin{lstlisting}
  Digits:=30:;
  dicho(x->x^2-2,10^(-30),1,2)
\end{lstlisting}


Et on obtient~:




{\small
{\centering
\verb+1.414213562373095048801688724209 est la solution trouvée+

\verb+après 100 itérations+
}
}

\vfill

.



\pagebreak




\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}



\begin{listeexercices}



{\small
\subsection{Avec les définitions}


\begin{exercice}
On  considère  la  fonction  $f$ définie  sur  $]0,+\infty[$  par
$f(x)=\fr{2x^2+1}{x^2}$

\begin{enumerate}

 \item  Donner  des  valeurs  approchées  à $10^{-3}$  près  de  $f(1)$,
$f(32)$, $f(320)$ et $f(3232)$.



\item  Observer  la  représentation  graphique  de $f$  donnée  par  une
calculatrice ou  un ordinateur. Quelle  conjecture peut-on faire  sur la
limite de $f$ en $+\infty$ ?

\item On  considère l'intervalle ouvert de  centre 2 et de  rayon 0,01 ,
c'est-à-dire $]1,99 ; 2,01[$ .

 Démontrer que pour $x > 10$ , $f(x)\in ]1,99 ; 2,01[$ (On pourra écrire
$f(x)$ sous la forme $f(x)=2+1/x^2$ )

\item On considère l'intervalle $]2-r, 2+r[$ avec $r>0$.


Montrer  que pour  $x$  supérieur à  un  certain $x_0$  à déterminer  en
fonction  de  $r$  ,   tous  les  $f(x)$  appartiennent  à  l'intervalle
$]2-r,2+r[$.

 \item Démontrer que $\Lim{+\infty} f(x)=2$


\end{enumerate}
\end{exercice}


%%



 \begin{exercice}

On considère la fonction $g$ définie sur $\bbr$ par $3x^3+x^2$

\begin{enumerate}

\item Donner les valeurs de $g(32)$, $g(320)$ et $g(3232)$.

\item  Observer  la  représentation  graphique  de $g$  donnée  par  une
calculatrice ou  un ordinateur. Quelle  conjecture peut-on faire  sur la
limite de $g$ en $+\infty$ ?

 \item On  considère l'intervalle $]100; +\infty[$ .  Démontrer que pour
$x > 10$, $f(x)\in\ ]100,+\infty[$.

 \item On  considère un intervalle $]A,+\infty[$  , avec A  > 0. Montrer
que pour  $x$ supérieur à $\sqrt{A}$  , tous les  $f(x)$ appartiennent à
l'intervalle $]A ; +\infty[$ .


\end{enumerate}


\end{exercice}


%%



 \begin{exercice}

Soit $h$ définie sur $\bbr$ par $h(x)=-2x+3$

Démontrez que $\Lim{+\infty}f(x)=-\infty$


 \end{exercice}


%%



 \begin{exercice}

On   considère   la  fonction   $h$   définie   sur  $]1,+\infty[$   par
$h(x)=2+\fr{3}{(x-1)^2}$

\begin{enumerate}

\item Justifiez que $h$ est bien définie sur $]1,+\infty[$.

\item  Observer  la  représentation  graphique  de $h$  donnée  par  une
calculatrice ou  un ordinateur. Quelle  conjecture peut-on faire  sur la
limite de $h$ en $1$ ?

 \item  On  considère  l'intervalle   $]1000;  +\infty[$  .  Donnez  une
condition suffisante portant sur $x$ pour que $h(x)\in\ ]1000,+\infty[$.

 \item On  considère un intervalle $]A,+\infty[$  , avec A  > 2.  Donnez
une  condition  suffisante  portant  sur  $x$ pour  que  $h(x)\in  ]A  ;
+\infty[$ .

\item Justifiez que $\Lim{1} h(x)=+\infty$.


\end{enumerate}

\end{exercice}

\subsection{Avec les théorèmes}

\begin{exercice}[Limite en zéro]

Soit $f~:~x\mapsto \fr{|x|}{x}$. \'Etudiez sa limite en zéro.



\end{exercice}


%%

\begin{exercice}[De la géométrie pour calculer une limite]

Voici  une  première  méthode  de  calcul  de  $\Lim{0}\fr{\sin  x}{x}$.
Pourquoi suffit-il d'étudier la limite pour des valeurs de $x>0$ ?

\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.8]{limfonc.12}
\end{center}

Utilisez la  figure pour obtenir que, pour  tout $x\in]0,\pi/2[$, $$\sin
x<x<\tan x$$

Déduisez-en un encadrement de $\fr{\sin x}{x}$ pour tout $x\in]0,\pi/2[$
et concluez après avoir étudié la parité de la fonction.


\end{exercice}



%%



\begin{exercice}[Limites trigonométriques]

En  supposant  connu  le  résultat  de  l'exercice  précédent,  calculez
$\Lim{0}\fr{\tan x}{x}$ et $\Lim{0}\fr{1-\cos x}{x^2}$

\smallskip

\emph{Pour    la    2éme,     utilisez    la    formule    bien    connue
$\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$}


\end{exercice}



%%



\begin{exercice}[Limite et radicaux]

Calculez~:


\begin{enumerate}
\item $\Lim{0}\fr{\sqrt{1+x}-1}{x}$
\item $ \Lim{+\infty}\pa{\sqrt{x^2+1}-x} $
\item $\Lim{0}\fr{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}$
\end{enumerate}


\end{exercice}



\subsection{Applications directes du cours}




%%



 \begin{exercice}
  Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $+\infty$:
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $x^2-5x+6$;
  \item $-4x^2+6x-7$;
  \item $\dfrac{2x+1}{x-1}$;
  \item $\dfrac{2x^2-3x+5}{x^3+x-3}$;
  \item $\dfrac{x^3}{x^2+1}-x$;
  \item $\dfrac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$.
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercice}


%%



 \begin{exercice}
  Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $+\infty$:
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $\dfrac{x+\sin(x)}{-2x+\cos(x)}$;
  \item $2x-\sqrt{x^2+3x-1}$;
  \item $\dfrac{\sqrt{x^2-2x+3}}{x}$.
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercice}


%%



 \begin{exercice}
    Étudier les limites des fonctions suivantes au voisinage de $a$:
%\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\dfrac{x+4}{x^2+3x+2}$ en $a=-2$;
    \item $\dfrac{x+2}{x^2+3x+2}$ en $a=-2$;
    \item $\dfrac{-x^2+x+6}{2x^2-5x+2}$ en $a=2$;
    \item $\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}$ en $a=0$;
    \item $\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ en $a=0$;
    \item $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ en $a=0$;
    \item $\tan(x)$ en $a=\frac{\pi}{2}$;
    \item $\dfrac{\sin(3x)}{x}$ en $a=0$.
    \end{enumerate}
%  \end{multicols}
  
\end{exercice}


%%



 \begin{exercice}
  Soit  $f$ la fonction définie par : \[f(x)=\frac{-x^3+2x^2-x+3}{x^2+1} \,.\]
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que
    $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+1}$.
  \item Calculer la limite de $f(x)-(ax+b)$ en $+\infty$ puis en $-\infty$.
  \item En déduire que la courbe représentative de $f$, $\mathcal{C}$
    admet une asymptote oblique $\Delta$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
  \item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.
  \end{enumerate}
\end{exercice}





\subsection{Approfondissement}




%%



 \begin{exercice}
    Étudier les limites des fonctions suivantes :
%\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$ en $+\infty$;
    \item $x\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}-1\right)$ en $+\infty$;
    \item $\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+3}}{x^2-2x}$ en $2$;
    \item $\dfrac{\tan(x)}{x}$ en $0$;
    \item $\dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$ en $0$ avec $ab\neq0$;
    \item $x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ en $+\infty$.
    \end{enumerate}
 % \end{multicols}
  
\end{exercice}


%%



 \begin{exercice}
  Étudier selon les valeurs de $a$ et de $b$ les limites de

\begin{enumerate}
  \item $f:x\mapsto\sqrt{x^2+5x+1}+ax+b$ en $+\infty$ et en $-\infty$
  \item $g:x\mapsto\frac{ax^2-(2a+1)x+2}{x-1}$ en 1.
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[ROC]

 \textbf{Question  de  cours  (Métropole,  Nouvelle  Calédonie  novembre
2007) }\\
\begin{enumerate}
\item   Soit   $f$  une   fonction   r\'eelle   d\'efinie  sur   $[a~;~+
\infty[$. Compl\'eter  la phrase suivante :\\  \og On dit  que $f$ admet
une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg
\item D\'emontrer le th\'eor\`eme \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$
et  $h$ trois  fonctions d\'efinies  sur $[a~;~+  \infty[$ et  $\ell$ un
nombre r\'eel.  Si $g$ et $h$  ont pour limite commune  $\ell$ quand $x$
tend vers  $+ \infty$, et si  pour tout $x$ assez  grand $g(x) \leqslant
f(x) \leqslant  h(x)$, alors  la limite  de $f$ quand  $x$ tend  vers $+
\infty$ est \'egale \`a $\ell$.
\end{enumerate}


\end{exercice}



\subsection{Continuité}





\begin{exercice}[A mad tea party]
  
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{MadHatter}
\end{center}


\textit{<<~Reprenez donc un peu de thé~>> propose le Lièvre de Mars.}

\textit{<<~Je n'ai rien pris du tout, je ne saurai donc reprendre de rien~!~>>}

\textit{<<~Vous voulez dire que vous ne sauriez reprendre de quelque chose~>> repartit le Chapelier.\\
 <<~Quand il n'y a rien, ce n'est pas
facile d'en reprendre~>>.}

\sm

 \begin{itemize}

 \item Alors comme ça, vous êtes étudiante~?
 \item Oui, en mathématiques par exemple.
 \item alors que vaut cette fraction : un sur deux sur trois sur quatre~?
 \item Eh bien ...
 \item Elle vaut deux tiers, la devança le Loir.
 \item Ou trois huitièmes si vous préférez, ajouta le Lièvre de Mars.
 \item Ou encore un sur vingt-quatre, affirma le Chapelier.
 \item En fait, je crois que...
\item Aucune importance ! Dîtes-nous plutôt combien vous voulez de sucre dans votre thé~?
\item Deux ou trois, ça dépend de la taille de la tasse.
\item Certainement pas, car de toute façon, deux ou trois c'est pareil.
\item Parfaitement~! approuva le Loir en fixant Alice qui écarquillait les yeux.
\item Ce n'est pourtant pas ce qu'on m'a appris, fit celle-ci.
\item Pourtant, ce n'est pas compliqué à comprendre, en voici une démonstration des plus élémentaires\\
                On sait que pour tout entier $n$ on a successivement
                $$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
                $$(n+1)^2-2n-1=n^2$$
                Retranchons $n(2n+1)$ des deux côtés
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)=n^2-n(2n+1)$$
                Mézalor, en ajoutant $(2n+1)^2/4$, on obtient

                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}=$$
                     $$n^2-n(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}$$
                Soit
                $$\pa{(n+1)-\fr{2n+1}{2}}^2=\pa{n-\fr{2n+1}{2}}^2$$
En passant à la racine carrée, on obtient
$$(n+1)-\fr{2n+1}{2}=n-\fr{2n+1}{2}$$
d'où
$$n+1=n$$
Et si je prends $n=2$, j'ai aussitôt $3=2$
\item Alors, qu'est-ce que vous en dites~?
\item Je...commença Alice.
\item D'ailleurs, cela prouve que tous les entiers sont égaux, la coupa le Lièvre de Mars.
\item Pas mal du tout ! Qu'en dites-vous mademoiselle la mathématicienne~?
\item Je vais vous dire tout de suite ce que j'en pense
\item Ah non ! Nous préférerions de loin que vous pensiez ce que vous allez nous dire.
\item C'est pareil ! grinça Alice qui commençait à en avoir assez.
\item Comment ça, c'est pareil~? Dire ce que l'on pense ce serait pareil que penser ce que l'on dit~? S'étrangla le Lièvre de Mars.
\item Incroyable ! Et manger ce qu'on voit ce serait pareil que voir ce qu'on mange~?
\item Mais...
\item Et respirer quand on dort pareil que dormir quand on respire ~?
\item En logique, nous vous mettons 3 sur 5.
\item Autant dire moins que un.
\item C'est à dire zéro, puisque si 2=3 alors 1=0.
\item Parce que chez vous, 3 c'est moins que 1 ? s'indigna Alice.
\item On se demande ce qu'on vous apprend à l'école ! Bien sûr que oui ! Tenez, considérez
$$f(x)=\fr{x^2+32}{2x^2+1}+\fr{|x|+1}{2x+51}$$
Eh bien il est facile de voir que cette fonction a pour limite 0 en moins l'infini et 1 en plus l'infini.
\item Je ne dis pas le contraire, protesta Alice.
\item Donc l'image par $f$ de $\bbr$ est l'intervalle $]0,1[$, or $f(0)=3$, donc 3 appartient à $]0,1[$ à ce titre : on a bien 3 plus
petit que 1.
\item C'est de la folie pure, pensa Alice...
\end{itemize}

\emph{Merci à Pierre Osadtchy}
\end{exercice}


\subsection{Exercices divers}




\begin{exercice}[Cheshire cat's journey] Un chat du Cheshire  parcourt 10 km en 2 heures. montrez qu'il existe un intervalle de temps de durée 1 heure pendant lequel il a
parcouru exactement 5 km.

\emph{Introduisez la fonction qui à t  associe le nombre de km parcourus en t heures puis la fonction $t\mapsto d(t+1)-d(t)$}

\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Racine d'un polynôme] Montrez que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. \emph{Il faut considérer la fonction polynomiale
associée et chercher un théorème dans le cours qui vous permette de conclure.}

\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Partie entière] \'Etudiez et représentez graphiquement la fonction $f$ définie sur $\bbr^*$ par
$f~:\ x\mapsto \fr{E(x)}{x}$




\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Partie entière~:~le retour] Soit $F$ la fonction définie sur $\bbr$ par
$F~:\ x\mapsto x-E(x)$
On rappelle que $E(x)$ est l'unique entier vérifiant $E(x)\ie x<E(x)+1$.

\sm

Montrez que $E(x+1)=E(x)+1$ puis que $F$ est périodique.
 et
représentez \textit{sommairement} $F$ sur un graphique.


\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Point fixe] Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ et à valeurs dans $[0,1]$.

Montrez qu'il existe un réel $x_0\in[0,1]$ vérifiant $f(x_0)=x_0$. Illustrez votre propos à l'aide d'un schéma.

\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Partie entière will never die] Soit $x\in\bbr$. \'Etudiez $\Lim{+\infty}\fr{E(-3nx)}{-2n}$ \jok{Commencez par encadrer $E(-3nx)$}

\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Somme de parties entières] Soit $x\in\bbr$. \'Etudiez $\Lim{+\infty}\fr{1}{n^2}\sum_{k=1}^nE(kx)$



\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Résolutions analytiques d'équations]


\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $f$ d\'efinie sur $\bbr$
par $f(x) =  \cos x + x$.

En d\'eduire que l'\'equation $\cos x + x =  0$ a une unique solution. En donner une valeur approch\'ee
 à $10^{-3}$ pr\`es.

\item On consid\`ere l'\'equation (E) $\sin x -
\cfrac{x}{2} = 0,~x \in \bbr$.

\begin{enumerate} \item Montrer que toutes les solutions de cette \'equation appartiennent à l'intervalle
$[-2~;~2]$.

\item Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'\'equation (E).

\item Donner une valeur approch\'ee, à $10^{-3}$ pr\`es par d\'efaut, de la plus grande
solution.

\end{enumerate}

\end{enumerate}












\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[\'Echelon de Heaviside]

\begin{enumerate}
\item Occupons-nous de fonctions utilisées couramment en électricité (et aussi en infographie, en musique, etc. )
On considère le cicuit très simple ci-dessous. On ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$ et on mesure la tension $U(t)$ .
Elle peut être définie par $$t\mapsto U(t)=\begin{cases} E &   \text{si}\  t\se 0\\ 0 &   \text{si }\  t<0 \end{cases}$$

\centering\includegraphics[scale=0.75]{CircuitOnOff.1}


Représentez graphiquement la fonction $U$.

\item On note $f$ la fonction $f~:~t\mapsto U(t-2)$ et $g~:~t\mapsto U(t+2)$.

En électricité, on appelle l'une \textit{échelon retardé} et l'autre \textit{échelon avancé} : pourriez-vous dire qui est qui ?





\end{enumerate}


\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Fonction porte]

Représentez la fonction $$\Pi~:~x\mapsto \begin{cases} E &   \text{si}\  |x|\ie 1/2\\ -E &   \text{si }\ |x|>1/2 \end{cases}$$

Donnez une interprétation physique de cette fonction si $x$ représente la fréquence d'un signal émis par un émetteur radio.


\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Signal carré]

 Pour s'amuser, on fait varier le sens du courant.  Représentez la fonction $\varphi$ qui est de période 1 et vérifie
\[t\mapsto \f(t)=\begin{cases} E &   \text{si}\  0<t<1/2\\ -E &   \text{si }\  1/2<t<1 \end{cases}\]


\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Signal triangulaire]


\begin{enumerate}

\item
Soit T la fonction \textbf{paire}, de période 1, et qui vérifie 
$ T(x)=E-2Ex $ pour tout $x\in[0\pv 1/2[$. Représentez graphiquement cette fonction et déterminez l'expression de cette fonction pour $x\in]-1/2\pv 0]$



\item On considère la fonction $\Lambda$ définie sur $\bbr$ par 
$ \Lambda~:~t\mapsto tU(t)-2(t-1)U(t-1)+(t-2)U(t-2) $
où U est la fonction de Heavyside étudiée précédemment.

Représentez graphiquement cette fonction en distinguant les intervalles $]-\infty\pv 0[$, $[0\pv 1[$, $[1\pv 2[$ et $[2\pv +\infty[$.

\item Donnez un nom à la fonction suivante $d$, de période 1, telle que $d(x)=Ex$ pour tout $x\in[0\pv 1[$.

\end{enumerate}




Rien de plus simple qu'un signal triangulaire\dots et pourtant, voici le circuit le produisant :

\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{oscillateur}
\end{center}




\end{exercice}


%%%%



\begin{exercice}[Fonctions causales]

Les fonctions causales sont très utilisées en électricité. Il s'agit tout simplement de fonctions nulles sur $]-\infty\pv 0]$. 

Pour les exprimer, on utilise la fonction de Heaviside qu'on multiplie par des fonctions usuelles. Représentez graphiquement les fonctions suivantes

\begin{enumerate}
\item $f_1~:~x\mapsto U(x)\sin x$
\item $f_2~:~x\mapsto U(x)\sin(x-\pi)$
\item $f_3~:~x\mapsto U(x-\pi)\sin x$
\item $f_4~:~x\mapsto U(x-\pi)\sin(x-\pi)$

\end{enumerate}

\end{exercice}
}
\end{listeexercices}


\modenormal

\begin{idee}[Oliver Heaviside]

\small{
\ill{ Oliver Heaviside (18 mai 1850 - 3 février 1925) était un physicien britannique autodidacte.\\
Bien qu'il eût de bons résultats scolaires, il quitta l'école à l'âge de seize ans et devint opérateur de télégraphe. Cependant il a continué à étudier et, en 1872, alors qu'il travaillait comme chef opérateur à Newcastle-upon-Tyne, il commença à publier ses résultats de recherche en électricité.
Il a formulé  à nouveau et simplifié les équations  de Maxwell sous leur
forme actuelle utilisée en calcul vectoriel.}{Oheaviside} 

Entre 1880 et 1887 il développa le calcul opérationnel, une méthode pour résoudre des équations
différentielles en les transformant en des équations algébriques ordinaires ce qui lui valu beaucoup
de controverse lorsqu'il l'introduisit pour la première fois, du fait d'un manque de rigueur dans
l'utilisation de la dérivation.
En 1887, il suggéra que  des bobines d'induction devraient être ajoutées
au  câble du téléphone  transatlantique afin  de corriger  la distorsion
dont il souffrait. Pour les raisons politiques, cela n'a pas été fait.

En 1902  il prédit  l'existence de couches  conductrices pour  les ondes
radio  qui  leur permettent  de  suivre la  courbure  de  la terre;  ces
couches,   situées   dans  l'ionosphère,   sont   appelées  couches   de
Kennelly-Heaviside, du  nom de Arthur Kennelly,  physicien américain qui
eut la  même intuition  que lui. Elles  ont finalement été  détectées en
1925 par Edward Appleton.

Il a développé aussi la fonction de Heaviside (aussi appelée échelon ou marche), utilisée communément dans l'étude de systèmes en automatique et il a étudié la propagation des courants électriques dans les conducteurs.\\
Des années plus tard son comportement devint, comment dire...,très excentrique~:~bref, il perdit un
peu la boule, comme souvent chez les physiciens.
}


\end{idee}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTs.tex"
%%% End: 




