\documentclass[12pt,fourier,a4paper]{polymaths}

\entete{BAC STL Bio }{16 juin 2006}{ T$^{\text{ale}}$ STL - Maths }


\begin{document}

\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \LARGE \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalaur\'eat STL Bio   \decofourright\\ CORRIGÉ }}
\end{center}



\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1} \hfill 9 points}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}

\item $x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3=x_5-x_4=x_6-x_5=3$, donc les six niveaux sonores sont les six premiers termes d'une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme $x_1=85$.
\item On en déduit que $x_n=x_1+(n-1)\times 3$, pour tout entier naturel non nul $n$. Ainsi 
\[ x_{13}=85+12\times 3=121\]
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $y_2/Y_1=y_3/y_2=y_4/y_3=y_5/y_4=y_6/y_5=0,5$, donc les six durées d'exosition sont les six premiers termes d'une suite géométique de raison 0,5 et de premier terme $y_1=8$.
\item On en déduit que $y_n=y_1\times (0,5)^{n-1}$, pour tout entier naturel non nul $n$. Ainsi 
 $y_{13}=8\times (0,5)^{12}=0,001953125$, $y_{13}$ étant exprimé en heure. En multipliant par 3600, on obtient 
\[y_{13}\simeq 7 \ {\rm s }\]
 
\end{enumerate}

\item\begin{enumerate}

\item 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\textwidth}{Y{5}}
\whline
Niveau sonore $x_i$ & 85 & 88& 91 & 94 & 97 & 100\\
\hline
$z_i=\ln(y_i)$ & 2,079 & 1,386 & 0,693& 0 & $-0,693$& $-1,386$\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le graphique :

\begin{center}

\includegraphics{Juin2006stlBIO.1}

\end{center}

\item On obtient $z=-0,231x +21,714$

\end{enumerate}

\item\begin{enumerate}
\item $z_{120}=-0,231\times 120+21,714=-6,006$, puis $y_{120}=\E^{z_{120}}\simeq0,0024639$, soit environ 8,9 secondes.
\end{enumerate}


\end{enumerate}




\break

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} \hfill 11 points}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}

\item $\Lim{+\infty}-t=-\infty$ et $\Lim[X]{-\infty}\E^X=0$, donc $\Lim{+\infty}\E^{-t}=0$ et de même $\Lim{+\infty}\E^{-2t}=0$, d'où finalement
\[\Lim{+\infty}C(t)=0\]
\item La courbe admet la droite d'équation $y=0$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item $C'(t)=8\pa{-\E^{-t}-(-2)\E^{-2t}}=8\E^{-2t}\pa{-\fr{\E^{-t}}{\E^{-2t}}+2}=8\E^{-2t}\pa{2-\E^{-t}}$

\item $\E^{-2t}\neq 0$ pour tout réel $t$, donc $C'(t)=0\ssi 2-\E^{t}=0\ssi \E^{t}=2\ssi t=\ln2$, c'est à dire environ 0,69.

\item $\E^{-2t}> 0$ pour tout réel $t$, donc $C'(t)\se0\ssi 2-\E^{t}\se 0\ssi \E^{t}\ie 2\ssi t\ie \ln2$
\item On en déduit le tableau suivant

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$t$ & 0 & & $\ln 2$ &  &$+\infty$\\
\hline
$f'(t)$ & & $+$& 0 & $-$ & \\
\hline
 &  & & 2 & & \\
$f(t)$ & & \croi & & \dec & \\
 &0 & & & &0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Par lecture du tableau de variation, on obtient que le maximum atteint par la fonction sur $\bbr^+$ est 2.



\end{enumerate}

\item (T) admet pour équation $y=f'(0)\times (x-0)+f(0)$, i.e. \[(T)~:~ y=8x\]

\item Joker...

\break

\item a) et b)

\begin{center}

\includegraphics{Juin2006stlBIO.2}

\end{center}

\item On lit 1,92 heure, soit environ 1 heure et 55 minutes.

\end{enumerate}

\end{document}