\documentclass[fourier]{Polymaths}

\usepackage[height=240mm,width=173mm,a4paper]{geometry}
\usepackage{casio,ti83font}


\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}}

\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
        \renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
   %     \renewcommand{\labelenumiii}{\theenumii)}
%\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumii}}






\begin{document}

 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}
\vspace{-6cm}
\pagestyle{empty}


\begin{center}
\textcolor{bleu_f}{\Large\floweroneleft \ \  \deuz 13  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°1  \floweroneright}

\textcolor{bleu_f}{Jeudi 5 octobre 2006   \ \ -\ \ Durée : 2 heures}

\end{center}

% 
% \exot{Analyse d'une démonstration}
% 
% Voici une démonstration d'un résultat bien connu :
% 
% {\itshape
% 
% Si $\sqrt{2}$ est rationnel, alors il existe un plus petit entier positif non nul q tel que $q\sqrt{2}$ est un entier, disons p.   (1)
% 
%  
% 
% 
% }


\begin{center}
\textsl{L'usage des calculatrices comme celui de la
copie du (de la) voisin(e) sont vivement déconseillés}
\end{center}



\vspace{2cm}

\exot{Un peu d'ordre}

Nous considèrerons connus les résultats suivants :

\bigskip


\begin{Boxedminipage}{\textwidth}
\itshape\small
\begin{description}
\item[Définition] Soient $a$ et $b$ deux nombres réels quelconques.\\
Nous dirons que $a$ est \textcolor{blue}{\textbf{supérieur à}} $b$ lorsque la différence $a-b$ est positive.
On notera alors \[a\se b\]
\item[Théorème 1]  Soit $a$ et $b$ deux réels vérifiant $a\se b$.
 Soit $c$ un réel quelconque.
 Alors on a toujours \[ a \textcolor{blue}{+c}\se b\textcolor{blue}{+c}\]
\item[Théorème 2] On peut multiplier par un même nombre réel \dots\dots les deux membres d'une inégalité sans en changer le sens.
\item[Théorème 3] Si on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre \dots\dots, alors l'inégalité change de sens. 

\end{description}

\end{Boxedminipage}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item Complétez les \dots\dots des théorèmes 2 et 3 pour qu'ils soient corrects.
\item Reformulez le théorème 1 sous forme d'une phrase en langage courant, sur le modèle des énoncés des théorèmes 2 et 3.
\item Résolvez les inéquations  suivantes.
          \begin{enumerate}
          \item $-3x+5\se -37$
           \item $\fr{1}{2}x-3\ie 5x$ 
          \end{enumerate}
Vous \gros{justifierez} chaque calcul en citant la définition ou le théorème que vous utilisez. Vous donnerez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.


\item On voudrait savoir si on peut  additionner membre à membre deux inégalités de même sens ?

Vous commencerez par donner des exemples qui illustrent cette proposition. 

Vous tenterez ensuite de la démontrer dans le cas général.




\end{enumerate}





\exot{}


On donne: 
 
$t=(\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})\quad 
u=\cfrac{1}{2}+\cfrac{7}{5}\times \cfrac{3}{4} \qquad 
v=\smash{\cfrac{\cfrac{2}{3}+1}{2-\cfrac{1}{6}}}$ 
 
\begin{enumerate} 
 \item Calculer $t$, $u$ et $v$ et donner les résultats 
 
 sous la forme la plus simple possible. 
 \item Compléter le tableau ci-dessous à l'aide des symboles $\in$ (appartient) et~$\notin$ (n'appa
rtient pas): 
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{Y{4}} 
\whline 
 Ensembles      & $\bbn$ & $\bbz$ & $\bbd$ & $\bbq$ & $\bbr$ \\ \hline 
$t$ & & & & & \\ \hline 
$u$ & & & & & \\ \hline 
$v$ & & & & & \\ \whline 
\end{tabularx} 
\end{center} 
 
\end{enumerate} 

\break



\exot{}
\begin{enumerate}
\item Le nombre $1,555$ est-il un nombre rationnel? Justifier. 
\item Existe-t-il des nombres décimaux qui ne soient pas rationnels 
 ? Justifier. 
\item Existe-t-il des nombres rationnels qui ne soient pas décimaux ? Justifier. 
 
 
\end{enumerate} 




\exot{}
\begin{enumerate}

\item \'Ecrire sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers : 
$$x=5^2\times5^9\times10^{-2}\qquad 
y=\frac{\left(-2\right)^{3}\times24^2}{27^3\times\left(2^{3}\right)^{-2}}$$ 
 
\item \'Ecrire sous la forme $a\sqrt{b}+c$, avec $a,\ b,\ c$ des 
 entiers et $b$ étant le plus petit possible : 
\[ M= \sqrt{288}-\sqrt{162}\qquad 
P=(3\sqrt{5}-2)^2
\]
 
\end{enumerate} 




\exot{}

Complétez avec l'un des symboles suivants: $<$, $>$, $=$. (Aucune justification n'est demandée)\\

\begin{tabular}{c c c}
$\displaystyle{\frac{15}{11}............\frac{19}{11}}$ & \hspace{4cm} & $\displaystyle{\frac{-5}{24}............\frac{-7}{24}}$ \\
 & & \\
$\displaystyle{\frac{15}{11}............\frac{15}{13}}$ & \hspace{4cm} & $\displaystyle{\frac{-15}{21}............\frac{-25}{35}}$ \\
 & & \\
$\displaystyle{\frac{\pi}{3}............0,99}$ & &$\displaystyle{\frac{3}{\sqrt{10}-1}............\frac{\sqrt{10}+1}{3}}$ \\
\end{tabular}


\exot{}

Quel calcul effectue-t-on si on tape sur la calculatrice :\\ 

\begin{center}
\tisqrt\Cpo\CCinq\CPlus\CQuatre\Cpf\CMult\CTrois\CDiv\CCinq\CPlus\CSix
\end{center}

Donnez le résultat.


\exot{}

\begin{enumerate}
	\item On donne les intervalles $I=]-3;3]$ et $J=]-\infty;1]$
	\begin{enumerate}
		\item Compléter avec $\in$ ou $\notin$: \hspace{1cm}   $-\pi............I$  \hspace{1cm}  $\sqrt{2}-1............J$
		\item Dessiner en vert l'intervalle $I$ et en rouge l'intervalle $J$ sur la droite graduée :\\
		\begin{center}
		\includegraphics{Nombres.3}
		\end{center}
		\item Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$
	\end{enumerate}
	\item On donne les intervalles $I=]-1;4[$ et $J=[-3;+\infty[$
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner en vert l'intervalle $I$ et en rouge l'intervalle $J$ sur la droite graduée :\\
		\begin{center}
		\includegraphics{Nombres.3}
		\end{center}
		\item Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\ \\
\noindent\textbf{\textsc{Question bonus (facultative)}}\\
De quelle fraction irréductible $0,123\overline{123}$ est-il le développement décimal ? Expliquez votre méthode.


\end{document}