
\input{/home/moi/Lycee/makdevoir}
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\title{\vspace{-4cm}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{   {\huge\bfseries  \white{T\textsuperscript{ale}$\text{S}_6$  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°1}}  } }

\author{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{\white\bfseries{Mardi 4 octobre 2005}}}
\date{}
 \setlength{\parindent}{0pt}


%numérotation des pages par rapport à la dernière
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}
    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
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    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\makeatother
%fin de la macro pour numéroter les pages


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}

\vspace{-4cm}
\maketitle



\begin{center}
\textsl{L'usage des calculatrices est autorisé - L'usage de la
copie du (de la) voisin(e) est vivement déconseillé}
\end{center}




\exot{}

Pour chacune des dix affirmations (entre guillemets) ci -dessous, précisez si elle est vraie ou
fausse en donnant soit une démonstration, soit un contre-exemple.

%\noindent \textbf{Le  candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention « vrai » ou « faux ».}

%\noindent Une r\'eponse correcte rapporte 0,5 point, une 	r\'eponse incorrecte enlève 0,25 point, l'absence de r\'eponse  ne rapporte  ni %n'enlève de points.

%\noindent Un \'eventuel total n\'egatif sera ramené à zéro.

\begin{enumerate}\item « Si $a$ est un nombre r\'eel quelconque et $f$ une fonction définie et strictement décroissante sur $[a~;~+ \infty[$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. »

\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[,~ g$ ne s'annulant pas :

« Si 	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ et si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$		alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = - 1$ ».

\item « Si $f$est une fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ telle que $ 0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{x}$ 	 sur $[0~;~+ \infty[$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ »

\item On considère un rep\`ere \Oij~ du plan.

« Si $f$  est  définie sur $\bbr^*$ alors la droite d'équation  $x = 0$ est asymptote à la courbe repr\'esentative de $f$ dans le repère \Oij ».



\item Soit $f:\bbr\to\bbr$ dérivable.
\been
\item « Si $f$ est périodique, alors $f'$ est périodique».
\item « Si $f'$ est périodique, alors $f$ est périodique».
\item « Si $f$ est paire, alors $f'$ est impaire».
\item « Si $f$ est impaire, alors $f'$ est paire».
\item « Si $f'$ est impaire, alors $f$ est paire».
\item « Si $f'$ est paire, alors $f$ est impaire».
\een



\een


\exot{} Soit $f$ la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par
$$f(x)=\fr{x^3+9}{x^2-1}$$
\been

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\bbr$ par $g(x)=x^3-3x-18$
\been
 \item Déterminez les réels $\al$, $\beta$ et $\gamma$ tels
que $g(x)=(x-3)(\al x^2+\beta x+\gamma)$. 
\item Déduisez-en le
signe de $g$ sur $\bbr$


\een

\item Démontrez qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et
$d$ %et une fonction $\e$ définie sur $\bbr\setminus\{-1\}$
tels que
$$f(x)=ax+b+\fr{cx+d}{x^2-1}$$
\item Déterminez les limites de $f$  aux bornes de l'ensemble de
définition.

\item Montrez que $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ sur
$]1,+\infty[$. Déduisez-en le sens de variation de $f$ sur
$]1,+\infty[$.  Dressez le tableau de variation de $f$. 

\item On
désigne par $(\CR)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan
muni du repère orthonormé \Oij. Démontrez que $(\CR)$ possède une
asymptote oblique $\Delta$ et étudiez la position relative de
$(\CR)$ et $\Delta$. \een


\exot{} Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[-1,1]$ par
$$f(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}$$
\been

\item  \'Etudiez la dérivabilité de $f$ en $-1$ et $+1$.
Déduisez-en les tangentes à la courbe représentative de $f$ aux
points d'abscisses respectives $-1$ et $+1$. 

\item Dressez le
tableau de variation de $f$; vous préciserez $f(0)$. 

\item
Justifiez que l'équation $f(x)=1$ admet exactement deux solutions
$\al$ et $\beta$, avec $\al<\beta$. 

Déterminez $\beta$ et donnez une valeur approchée par défaut à
$10^{-3}$ près de $\al$. 

\een




\end{document}